Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe:
Man berechne das Integral [mm] \integral\bruch{dx}{ax^2+bx+c}, (a,b,c\in\IR).
[/mm]
Kann man das nicht einfach so machen:
[mm] \integral\bruch{dx}{ax^2+bx+c} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2ax+b}\integral\bruch{2ax+b}{ax^2+bx+c}dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{2ax+b}\ln|ax^2+bx+c| [/mm] - oder was mache ich da verkehrt?
Oh - hab den Fehler gefunden - der Bruch vor dem Integral hängt ja noch von x ab, da darf ich den ja gar nicht rausziehen... Aber was mache ich dann mit diesem Integral? Könnte mir jemand einen Ansatz geben?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:06 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Sp00k |
Hallo Bastiane!
Ich habe es mit einer Substitution versucht... kann aber keine Gewähr geben, dass das Folgende richtig ist!
Zuerst habe ich [mm] ax^2+bx+c [/mm] = z gesetzt.
Danach [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2ax + b
somit ist dx= [mm] \bruch{dz}{2ax + b} [/mm] (1)
x lässt sich mit der quadr. Gleichung auch so schreiben:
[mm] x_{1,2}= \bruch{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
[/mm]
in (1) eingsetzt gibt das: dx= [mm] \bruch{dz}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}}
[/mm]
Für das Integral erhältst zu somit:
[mm] \bruch{1}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}} \integral_{}^{} [/mm] {1/z dz} =
[mm] \bruch{1}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}} [/mm] *ln|z| = [mm] \bruch{1}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}} [/mm] * [mm] ln|ax^2+bx+c|
[/mm]
Wie gesagt ohne Gewähr ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Di 30.08.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo Bastiane!
>
> Ich habe es mit einer Substitution versucht... kann aber
> keine Gewähr geben, dass das Folgende richtig ist!
>
> Zuerst habe ich [mm]ax^2+bx+c[/mm] = z gesetzt.
>
> Danach [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = 2ax + b
>
> somit ist dx= [mm]\bruch{dz}{2ax + b}[/mm] (1)
>
> x lässt sich mit der quadr. Gleichung auch so schreiben:
>
> [mm]x_{1,2}= \bruch{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
So geht das nicht, mit diesen Differentialen sollte man nur hantieren, wenn man weiß, was man tut.
>
> in (1) eingsetzt gibt das: dx= [mm]\bruch{dz}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}}[/mm]
>
> Für das Integral erhältst zu somit:
>
> [mm]\bruch{1}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}} \integral_{}^{}[/mm] {1/z dz} =
> [mm]\bruch{1}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}}[/mm] *ln|z| = [mm]\bruch{1}{\pm \sqrt{b^2 -4ac}}[/mm]
> * [mm]ln|ax^2+bx+c|[/mm]
>
Was gibt denn die Probe?
> Wie gesagt ohne Gewähr ;)
>
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo!
>
> Folgende Aufgabe:
>
> Man berechne das Integral [mm]\integral\bruch{dx}{ax^2+bx+c}, (a,b,c\in\IR).[/mm]
>
> Kann man das nicht einfach so machen:
>
> [mm]\integral\bruch{dx}{ax^2+bx+c}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2ax+b}\integral\bruch{2ax+b}{ax^2+bx+c}dx[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2ax+b}\ln|ax^2+bx+c|[/mm] - oder was mache ich da
> verkehrt?
>
> Oh - hab den Fehler gefunden - der Bruch vor dem Integral
> hängt ja noch von x ab, da darf ich den ja gar nicht
> rausziehen... Aber was mache ich dann mit diesem Integral?
> Könnte mir jemand einen Ansatz geben?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Ich fürchte, da kommst du schlussendlich nicht um eine Fallunterscheidung herum.
Fall I: a=0
sollte kein Problem darstellen. Es wird darin wohl noch eine Fallunterscheidung nötig werden (b=0) etc.
Das Folgende gilt für $a [mm] \not [/mm] = 0$:
Da würde ich auf alle Fälle einmal eine Substitution vornehmen, dass die Funktion symmetrisch wird. (es ist ja 1 durch eine Parabel gegeben; der Scheitelpunkt der Parabel liegt bekanntlich bei [mm] $x=-\bruch{b}{2a}$
[/mm]
Die Substitution
[mm] $x:=u-\bruch{b}{2a}$
[/mm]
führt deine Funktion über in die Form
[mm] $\bruch{du}{au^2+f(a,b,c)}=\bruch{1}{a}*\bruch{du}{u^2+\bruch{1}{a}*f(a,b,c)}$
[/mm]
Nun ist leider wieder eine Fallunterscheidung nötig:
Fall 1: [mm] $\bruch{1}{a}*f(a,b,c) [/mm] > 0$
Fall 2: $f(a,b,c) = 0$
Fall 3: [mm] $\bruch{1}{a}*f(a,b,c) [/mm] < 0$
Für Fall 1 kannst du die Formel
[mm] $\int{\bruch{1}{x^2+\lambda^2}}\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{\lambda}* \arctan{\bruch{x}{\lambda}}$
[/mm]
verwenden.
Fall 2 sollte keine Schwierigkeiten bereiten,
und für Fall 3 ist eine Partialbruchzerlegung angesagt:
[mm] $\bruch{1}{x^2-\lambda^2}=\bruch{1}{2\lambda}\left(\bruch{1}{x-\lambda}-\bruch{1}{x+\lambda}\right)$
[/mm]
Ich hoffe, du kommst mit diesen Ausführungen einigermassen klar! 
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. ich habe diesen Artikel noch etwas editiert: die Fallunterscheidungen werden nach hinten verschoben. Dies erscheint auf den ersten Blick etwas übersichtlicher, ob bei der konkreten Rechnung wirklich schneller geht, glaube ich allerdings nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Di 30.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
Habe deine Antwort gerade nur mal kurz durchgelesen. Ist denn die Antwort von Sp00k nicht richtig? Oder werden da halt nur ein paar Fälle (z. B. a=0 und b=0) nicht beachtet? Dann müsste seine Rechnung doch aber für einige deiner Fälle gelten, oder?
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Di 30.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> Ist denn die Antwort von Sp00k nicht richtig? Oder werden da
> halt nur ein paar Fälle (z. B. a=0 und b=0) nicht beachtet?
statler hat diese Antwort ja bereits (korrekterweise) als falsch markiert.
Deine gesuchte(n) Stammfunktion(en) lauten:
Fall 1: $4ac \ > \ [mm] b^2$
[/mm]
$F(x) \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{4ac-b^2}}*\arctan\left(\bruch{2a*x+b}{\wurzel{4ac-b^2}}\right) [/mm] \ + \ C$
Fall 2: $4ac \ < \ [mm] b^2$
[/mm]
$F(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{b^2-4ac}}*\ln\left|\bruch{2a*x+b-\wurzel{b^2-4ac}}{2a*x+b+\wurzel{b^2-4ac}}\right| [/mm] \ + \ C$
Fall 3: $4ac \ = \ [mm] b^2$
[/mm]
Hier wird das Integral ja auf folgende Form zurückgeführt:
[mm] $\integral{\bruch{1}{(m*x+n)^2} \ dx} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{m*(m*x+n)} [/mm] \ + \ C$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 30.08.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
Loddars Stammfunktionen habe ich auch in einer Formelsammlung gefunden, ABER: es ist noch nicht die Lösung der Aufgabe!
Die angegebenen Stammfunktionen gelten nur für den Fall $a [mm] \not [/mm] = 0$. Dies wird aber in der Aufgabenstellung nicht vorausgesetzt, weshalb das wohl auch noch zu untersuchen ist.
Für $a=0$ solltest du noch erhalten (falls ich mich nicht verrechnet habe):
Für $b [mm] \not [/mm] = 0$: [mm] $\bruch{1}{b}*\ln\left|bx-\bruch{c}{b}\right|$
[/mm]
Für $b=0$ noch die weitere Fallunterscheidung:
für $c [mm] \not [/mm] = 0$: [mm] $\bruch{x}{c}$
[/mm]
für $c = 0$ existiert keine Stammfunktion, da die Funktion selber nicht
definiert ist!
Selbstverständlich ist dann überall noch eine Konstante zu addieren!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
