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| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \integral \integral [/mm] _A f(x,y,z) d(x,y,z) für f(x,y,z)=1-x+2y,wobei A durch die Koordinatenebenen und die Ebenen x+y=1 und [mm] x+\bruch{y}{2}+z=1 [/mm] begrenzt wird. |
Hallo,
habe als erstes:
x+y=1
y=1-x
[mm] z=1-\bruch{y}{2}-x
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-\bruch{y}{2}-x} [/mm] 1-x+2y dzdydx = [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x} [/mm] z-xz+2yz dydx = [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x} 1-\bruch{y}{2}-x-x(1-\bruch{y}{2}-x)+2y(1-\bruch{y}{2}-x) [/mm] dydx= [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x} 1-\bruch{y}{2}-x-x+\bruch{xy}{2}+x^2+2y-y^2-2xy [/mm] dydx=
[mm] \integral_{0}^{1} y-\bruch{y^2}{4}-xy-xy+\bruch{xy^2}{4}+x^2y+y^2-\bruch{1}{3}y^3-xy^2 [/mm] dx = [mm] \integral_{0}^{1} y-\bruch{y^2}{4}-2xy+\bruch{xy^2}{4}+x^2y+y^2-\bruch{1}{3}y^3-xy^2 [/mm] dx= [mm] \integral_{0}^{1} (1-x)-\bruch{1}{4}(1-2x+x^2)-2x(1-x)+\bruch{x(1-2x+x^2)}{4}+x^2(1-x)+(1-2x+x^2)-\bruch{1}{3}(-x^3+3x^2-3x+1)-x(1-2x+x^2) [/mm] dx =
[mm] \integral_{0}^{1} 1-x-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}x^2-2x+2x^2+\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{4}x^3+x^2-x^3+1-2x+x^2+\bruch{1}{3}x^3-x^2+x-\bruch{1}{3}-x+2x^2-x^3 [/mm] dx
= [mm] -\bruch{5}{12}x^3+\bruch{9}{2}x^2-\bruch{17}{10}x+\bruch{17}{12}
[/mm]
ist es bis hierhin richtig? das sieht sehr verwirrend aus ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich nehme mal an, dass ich mich irgendwo verrechnet habe.
Lg
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Hallo ellegance88,
> Bestimmen Sie [mm] \integral \integral[/mm] _A f(x,y,z) d(x,y,z)
> für f(x,y,z)=1-x+2y,wobei A durch die Koordinatenebenen
> und die Ebenen x+y=1 und [mm]x+\bruch{y}{2}+z=1[/mm] begrenzt wird.
> Hallo,
>
> habe als erstes:
> x+y=1
> y=1-x
> [mm]z=1-\bruch{y}{2}-x[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-\bruch{y}{2}-x}[/mm]
> 1-x+2y dzdydx = [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}[/mm]
> z-xz+2yz dydx = [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x} 1-\bruch{y}{2}-x-x(1-\bruch{y}{2}-x)+2y(1-\bruch{y}{2}-x)[/mm]
> dydx= [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x} 1-\bruch{y}{2}-x-x+\bruch{xy}{2}+x^2+2y-y^2-2xy[/mm]
> dydx=
> [mm]\integral_{0}^{1} y-\bruch{y^2}{4}-xy-xy+\bruch{xy^2}{4}+x^2y+y^2-\bruch{1}{3}y^3-xy^2[/mm]
> dx = [mm]\integral_{0}^{1} y-\bruch{y^2}{4}-2xy+\bruch{xy^2}{4}+x^2y+y^2-\bruch{1}{3}y^3-xy^2[/mm]
> dx= [mm]\integral_{0}^{1} (1-x)-\bruch{1}{4}(1-2x+x^2)-2x(1-x)+\bruch{x(1-2x+x^2)}{4}+x^2(1-x)+(1-2x+x^2)-\bruch{1}{3}(-x^3+3x^2-3x+1)-x(1-2x+x^2)[/mm]
> dx =
> [mm]\integral_{0}^{1} 1-x-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{4}x^2-2x+2x^2+\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{4}x^3+x^2-x^3+1-2x+x^2+\bruch{1}{3}x^3-x^2+x-\bruch{1}{3}-x+2x^2-x^3[/mm]
> dx
> =
> [mm]-\bruch{5}{12}x^3+\bruch{9}{2}x^2-\bruch{17}{10}x+\bruch{17}{12}[/mm]
>
Das sollte doch der Integrand sein.
Da ist Dir ein Fehler beim Zusammenfassen der
Faktoren vor [mm]x^{2}[/mm] und [mm]x^{3}[/mm] passiert.
> ist es bis hierhin richtig? das sieht sehr verwirrend aus
> ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich nehme mal an, dass ich
> mich irgendwo verrechnet habe.
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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soo, habe jetzt nochmal nachgeschaut, wenn ich mich jetzt nicht verrechnet haben sollte bekomme ich jetzt:
[mm] -\bruch{17}{12}x^3+\bruch{17}{4}x^2-\bruch{17}{4}x+\bruch{17}{12}=-\bruch{17}{4}(\bruch{1}{3}x^3-x^2+x-\bruch{1}{3})
[/mm]
das müsste doch jetzt richtig sein oder? was wäre denn der nächste Schritt?
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Hallo ellegance88,
> soo, habe jetzt nochmal nachgeschaut, wenn ich mich jetzt
> nicht verrechnet haben sollte bekomme ich jetzt:
>
> [mm]-\bruch{17}{12}x^3+\bruch{17}{4}x^2-\bruch{17}{4}x+\bruch{17}{12}=-\bruch{17}{4}(\bruch{1}{3}x^3-x^2+x-\bruch{1}{3})[/mm]
>
> das müsste doch jetzt richtig sein oder? was wäre denn
> der nächste Schritt?
Ja, das ist richtig.
Das kannst Du noch weiter zusammenfassen.
Jetzt musst Du dies nach x integrieren.
Gruss
MathePower
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dann bekomme ich [mm] \bruch{1}{12}x^4-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{3}x
[/mm]
was könnte man denn dann machen?
nun müsste ich doch etwas für x einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 21.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch die Grenzen für x schon eingetragen, die musst du jetzt einsetzen!
gruss leduart
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Ich bekomme ein anderes Ergebnis für den Integralwert [mm]I[/mm]. Man sollte da nicht wild drauflosrechnen, sondern unterwegs immer nach Vereinfachungsmöglichkeiten suchen. Ich weiß allerdings nicht, welche Methoden dir zur Verfügung stehen.
Der Integrationsbereich [mm]A[/mm] ist eine Pyramide. Die Grundfläche ist das Trapez [mm]OPQR[/mm] und die Spitze ist [mm]S[/mm] mit
[mm]O = (0,0,0), \ P = (0,1,0), \ Q = \left( 0,1,\frac{1}{2} \right), \ R = (0,0,1), \ S = (1,0,0)[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dein Ansatz mit Fubini stimmt. Mir erschließt sich allerdings nicht, ob das nur zufällig richtig ist oder du tatsächlich verstanden hast, warum es so ist. Zunächst zieht man den von [mm]z[/mm] unabhängigen Integranden vor das [mm]z[/mm]-Integral. Dann bekommt man:
[mm]I = \int \limits_0^1 \int \limits_0^{1-x} \int \limits_0^{1 - x - \frac{1}{2} y} \left( 1 - x + 2y \right) ~ \mathrm{d}z ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x = \int \limits_0^1 \int \limits_0^{1-x} \left( 1 - x + 2y \right) ~ \cdot \int \limits_0^{1 - x - \frac{1}{2} y} \mathrm{d}z ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x = \int \limits_0^1 \int \limits_0^{1-x} \left( 1 - x + 2y \right) \cdot \left( 1 - x - \frac{1}{2} y \right) ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x[/mm]
Falls dir die Substitutionsregel vertraut ist, bieten sich neue Variablen an:
[mm]x = 1 - u \, , \ \ y = v[/mm]
Die Substitution ist linear, der Betrag der Funktionaldeterminante ist 1. Der Integrationsbereich für [mm](x,y)[/mm] ist das Dreieck mit den Ecken [mm]O=(0,0), \, S=(1,0), \, P=(0,1)[/mm] (die [mm]z[/mm]-Koordinate ist jetzt irrelevant). Durch die Substitution geht das Dreieck über in ein Dreieck in der [mm]uv[/mm]-Ebene. Es hat die Ecken [mm](0,0), \, (1,0), \, (1,1)[/mm]. Somit gilt:
[mm]I = \int \limits_0^1 \int \limits_0^u \left( u + 2v \right) \cdot \left( u - \frac{1}{2} v \right) ~ \mathrm{d}v ~ \mathrm{d}u = \int \limits_0^1 \int \limits_0^u \left( u^2 - v^2 + \frac{3}{2} uv \right) ~ \mathrm{d}v ~ \mathrm{d}u = \int \limits_0^1 \left( u^2 \cdot \int \limits_0^u \mathrm{d}v - \int \limits_0^u v^2 ~ \mathrm{d}v + \frac{3}{2} u \int \limits_0^u v ~ \mathrm{d}v \right) ~ \mathrm{d}u[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Sicher? Weil habe von meinem Tutoriumleiter die Lösung geholt. der hat als letze Zeile stehen:
[mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{12}- \bruch{1}{3}.
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{12} [/mm] bekomme ich auch wenn ich Grenze 1 und 0 für x einsetze.
aber was hat er wo eingesetzt um die anderen Werte zu bekommen?
Lg
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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