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Forum "Integrationstheorie" - Integral=0 --> f=0?
Integral=0 --> f=0? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral=0 --> f=0?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Di 24.03.2009
Autor: XPatrickX

Aufgabe
Es sei [mm] B\subset \IR^p [/mm] offen und [mm] $f:B\to\IR$ [/mm] stetig. Beweisen oder widerlegen Sie: Gilt [mm] $\int\limits\I [/mm] f(x) dx=0$ für alle kompakten Würfel [mm] $I\subset [/mm] B$, so ist $f(x)=0$ für alle [mm] x\in [/mm] B.

Guten Morgen!

Ich würde sagen die Aussage stimmt nicht.

Gegenbeispiel:
p=1 und B=(-5,5) und
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

Dann ist [mm] $f\not= [/mm] 0$, aber für jeden kompakten Würfel ist doch das Integral gleich Null, oder?
Auch wenn der Würfel winzig klein ist? Also [mm] I=[-\varepsilon,\varepsilon] [/mm]

Es ist dann auch egal, ob ich das Riemann- oder das Lebesgueintegral betrachte oder macht das hier einen Unterschied?

Gruß Patrick

        
Bezug
Integral=0 --> f=0?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Di 24.03.2009
Autor: pelzig


> Gegenbeispiel:
> p=1 und B=(-5,5) und
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]

f muss aber stetig sein.

> Es ist dann auch egal, ob ich das Riemann- oder das
> Lebesgueintegral betrachte oder macht das hier einen
> Unterschied?

Auf kompakten Intervallen und bei stetigem f stimmen Riemann- und Lebesgueintegral überein.

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Integral=0 --> f=0?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Di 24.03.2009
Autor: XPatrickX

Hoppla, man sollte natürlich schon genau lesen....

Dann wird die Aussage wohl doch stimmen. Aber wie kann ich das beweisen? Kannst du mir dazu einen Tipp geben?

Bezug
                        
Bezug
Integral=0 --> f=0?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Di 24.03.2009
Autor: pelzig

Ja, angenommen o.B.d.A. $f(x)=C>0$ für ein [mm] $x\in [/mm] B$. Wegen der Stetigkeit gibt es eine Umgebung U um x mit [mm] $f|_U\ge [/mm] C/2$. U enthält einen kompakten Würfel W mit positivem Maß und somit [mm] $0=\int_W fd\mu\ge \mu(W)\cdot [/mm] C/2>0$, Widerspruch.

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
Integral=0 --> f=0?: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Di 24.03.2009
Autor: XPatrickX

Dankeschön!
Das habe ich verstanden.

LG Patrick

Bezug
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