Integral=0 --> f=0? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] B\subset \IR^p [/mm] offen und [mm] $f:B\to\IR$ [/mm] stetig. Beweisen oder widerlegen Sie: Gilt [mm] $\int\limits\I [/mm] f(x) dx=0$ für alle kompakten Würfel [mm] $I\subset [/mm] B$, so ist $f(x)=0$ für alle [mm] x\in [/mm] B. |
Guten Morgen!
Ich würde sagen die Aussage stimmt nicht.
Gegenbeispiel:
p=1 und B=(-5,5) und
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Dann ist [mm] $f\not= [/mm] 0$, aber für jeden kompakten Würfel ist doch das Integral gleich Null, oder?
Auch wenn der Würfel winzig klein ist? Also [mm] I=[-\varepsilon,\varepsilon]
[/mm]
Es ist dann auch egal, ob ich das Riemann- oder das Lebesgueintegral betrachte oder macht das hier einen Unterschied?
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Gegenbeispiel:
> p=1 und B=(-5,5) und
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
f muss aber stetig sein.
> Es ist dann auch egal, ob ich das Riemann- oder das
> Lebesgueintegral betrachte oder macht das hier einen
> Unterschied?
Auf kompakten Intervallen und bei stetigem f stimmen Riemann- und Lebesgueintegral überein.
Gruß, Robert
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Hoppla, man sollte natürlich schon genau lesen....
Dann wird die Aussage wohl doch stimmen. Aber wie kann ich das beweisen? Kannst du mir dazu einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, angenommen o.B.d.A. $f(x)=C>0$ für ein [mm] $x\in [/mm] B$. Wegen der Stetigkeit gibt es eine Umgebung U um x mit [mm] $f|_U\ge [/mm] C/2$. U enthält einen kompakten Würfel W mit positivem Maß und somit [mm] $0=\int_W fd\mu\ge \mu(W)\cdot [/mm] C/2>0$, Widerspruch.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Di 24.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Dankeschön!
Das habe ich verstanden.
LG Patrick
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