Integral [-1,1] < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(4x³+2x) dx} [/mm] |
Hallo,
habe das nun berechnet:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(4x³+2x) dx} [/mm] = [mm] [x^{4}+x²] [/mm] = 0
Nun meine Frage: Wieso kommt da Null raus? Ist der Flächeninhalt dann Null?
Verstehe das nicht ganz... würde mich über eine Antwort freuen!
LG
Informacao
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 18.09.2007 | | Autor: | Kroni |
> Berechne das Integral:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(4x³+2x) dx}[/mm]
> Hallo,
>
> habe das nun berechnet:
>
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(4x³+2x) dx}[/mm] = [mm][x^{4}+x²][/mm] = 0
>
> Nun meine Frage: Wieso kommt da Null raus? Ist der
> Flächeninhalt dann Null?
Hi,
die Stammfunktion zu [mm] $4x^3+2x$ [/mm] ist [mm] $F(x)=x^4+x^2$ [/mm] mit $F'(x)=f(x)$
Wenn man dann die Grenzen einsetzt, kommt in der Tat 0 heraus.
Gucken wir uns den Graphen an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir sehen, dass der Graph y-Achsen-symmetrisch ist (könnten wir auch rechnerisch nachweisen).
Das Integral ist ja die Fläche, die der Graph der Funktion mit der x-Achse einschließt.
Da man sieht, dass die Flächen im Intervall [-1;0] betragsmäßig gleich der Fläche im Intervall [0;1] ist, aber das entgegengesetzte Vorzeichen hat, da die eine Fläche unterhalb der x-Achse liegt (also negativ ist) und die andere überhalb der x-Achse.
Das hat zur Konsequenz, dass die gesamte Fläche den Flächeninhalt 0 hat.
> Verstehe das nicht ganz... würde mich über eine Antwort
> freuen!
Das Integral ist 0, weil sich die beiden Flächen aufheben. Willst du das umgehen, und dann wirklich den absoluten Flächeninhalt haben, so müsstest du getrennt integrieren und dann beides mal den Betrag des Integrals addieren.
LG
Kroni
>
> LG
>
> Informacao
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Stimmt,
also kann ich mir merken, dass wenn ich eine Funktion mit ungeraden Exponenten habe, die somit punktsymmetrisch zum ursprung ist, der Flächeninhalt bei "normaler Integration" = Null ist?
LG
Informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 18.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo informaco
1. natürlich nur, wenn du auch sym. zum Nullpunkt integrierst.
2. Nicht der Flächeninhalt ist 0 weder der normale noch der unnormale, sondern das Integral ist 0.
3. Deshalb muss man, wenn nach dem Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse gefragt ist immer auf nullstellen der fkt aufpassen, und i.A. immer bis zu ner nullstelle und von einer Nullstelle an integriern.
also merk dir keine zu einfachen Regeln!
Gruss leduart
|
|
|
|
