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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 28.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | [mm] \integral{\wurzel{3-x} dx}
[/mm]
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Ich habe folgendes Problem!
Ich weiss, dass ich die Form einmal auf [mm] (3-x)^{\bruch{1}{2}} [/mm] bringen muss!
Dann habe ich ja den Stammintegral mit:
[mm] \bruch{x^{n+1}}{n+1} [/mm] + c
Was mir aber nicht klar ist.
Die Lösung lautet dann [mm] -\bruch{2}{3} *(3-x)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Wieso minus?? Auf was muss ich noch achten?
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Hallo Andi!
> Dann habe ich ja den Stammintegral mit: [mm]\bruch{x^{2.5}}{n+1}[/mm] + c
>
> Was mir aber nicht klar ist.
Es wird die  Potenzregel angewandt.
> Die Lösung lautet dann [mm]-\bruch{2}{3} *(3-x)x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Das soll doch bestimmt [mm] $-\bruch{2}{3}*(3-x)^{\bruch{\red{3}}{2}}+c$ [/mm] heißen, oder?
> Wieso minus?? Auf was muss ich noch achten?
Du musst beachten, dass unter der Wurzel $... \ [mm] \red{-} [/mm] \ x$ steht. Formal sauber musst Du hier eine Substitution mit $u \ := \ 3-x$ durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 28.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ich habe jetzt die Aufgabe ausgebessert! Mir ist das auch gleich aufgefallen! Aber danke auch von dir?
Warum muss ich hier dann differenzieren, wo ich doch beim integrieren bin und hier eigentlich das Gegenteil von Differenzieren mache?
Bitte erklär mir das genau!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Do 28.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe jetzt die Aufgabe ausgebessert! Mir ist das auch
> gleich aufgefallen! Aber danke auch von dir?
>
> Warum muss ich hier dann differenzieren, wo ich doch beim
> integrieren bin und hier eigentlich das Gegenteil von
> Differenzieren mache?
>
> Bitte erklär mir das genau!
[mm] $$\int \sqrt{3-x}\;dx$$
[/mm]
ist gesucht. Substituierst Du [mm] $u=u(x):=\,3-x\,,$ [/mm] so ist [mm] $du=-dx\,$ [/mm] und damit
[mm] $$\int \sqrt{\underbrace{3-x}_{=u}}\;\underbrace{dx}_{=-du}=\int \sqrt{u}\;*(-1)\;du=-\int u^{1/2}\;du=\,-\;\frac{2}{3}u^{3/2}+\text{const}\underset{u=3-x}{=}\,-\;\frac{2}{3}(3-x)^{3/2}+\text{const}\,.$$
[/mm]
Die Konstante (bzw. konstante Funktion) [mm] $\text{const}$ [/mm] kannst Du dabei auch vernachlässigen, wenn ihr Stammfunktionen eigentlich als gewisse Funktionenklasse definiert haben solltet. (Ansonsten kann man sie auch vernachlässigen, wenn man nur eine Stammfunktion angeben will.)
Wenn Du das nicht auf direktem Wege rechnen willst:
Die Funktion [mm] $F(x):=\frac{2}{3}(3-x)^{3/2}$ [/mm] hat, nach der Kettenregel (es ist $F=u [mm] \circ v\,,$ [/mm] d.h. $F(x)=u(v(x))$ mit [mm] $u(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}$ [/mm] und [mm] $v(x)=3-x\,$), [/mm] die Ableitung
[mm] $$F'(x)=u'(v(x))*v'(x)\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $u'(\green{x})=x^{1/2}=\sqrt{\green{x}}$ [/mm] und daher [mm] $u'(\green{v(x)})=\sqrt{\green{v(x)}}=\sqrt{\green{3-x}}$ [/mm] ist, und [mm] $v'(x)=-1\,,$
[/mm]
also
[mm] $$F'(x)=\underbrace{\sqrt{3-x}}_{=u'(v(x))}*(\underbrace{-1}_{=v'(x)})=-\sqrt{3-x}\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $F(x)=\frac{2}{3}(3-x)^{3/2}$ [/mm] eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto -\sqrt{3-x}\,,$ [/mm] woraus folgt, dass [mm] $-F(x)=-\frac{2}{3}(3-x)^{3/2}$ [/mm] eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto -(-\sqrt{3-x})=\sqrt{3-x}$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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