Integral Approximation < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Fr 28.12.2007 | | Autor: | pinclady |
| Aufgabe | Berechne
[mm] \integral_{\sigma_{Y}}^{x- \sigma_{X}} {(x-y)^{-\alpha}*y^{-(\beta+1)}}dy
[/mm]
mit [mm] \sigma_{X}, \beta, \alpha [/mm] > 0 |
Hallo Leute,
für mein Seminar muss ich die Tail-Subadditivität von VaR bei Paretoverteilung zeigen. Dafür versuche ich die Faltung zwei unabhängig paretoverteilten (mit unterschiedlichen Exponenten) Zufallsvariablen zu berechnen, d.h.
Für die Verteilung von X mit Parametern [mm] \sigma_{X}, \beta [/mm] > 0 gilt
[mm] F_{X} [/mm] (x) = [mm] 1-(\bruch{\sigma_{X}}{x})^{\beta } [/mm] für x [mm] \ge \sigma_{X}
[/mm]
Entsprechend gilt für die VF von Y:
[mm] F_{Y} [/mm] (x) = [mm] 1-(\bruch{\sigma_{Y}}{x})^{\beta } [/mm] für x [mm] \ge \sigma_{Y}
[/mm]
Für die Berechnung der VF von X+Y benutze ich die Faltungsformel und erhalte:
1 [mm] F_{(X+Y)} [/mm] (x) = [mm] \sigma_{X}^{\alpha}\*\beta\*\sigma_{Y}^{\beta}\* [/mm]
[mm] \integral_{\sigma_{Y}}^{x- \sigma_{X}} {(x-y)^{-\alpha}*y^{-(\beta+1)}}dy
[/mm]
Und hier komme ich nicht mehr weiter
Integral sieht einfach aus, lässt sich aber nicht exakt bestimmen.Hat jemand vielleicht eine Idee, wie ich das Integral berechnen/approximieren kann?
Da ich nur die Tail-Subadditivität untersuche, würde mir die Berechnung für x -> Unendlich reichen.
Ich bin für jeden Vorschlag dankbar!!!!
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Fr 28.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne
> [mm]\integral_{\sigma_{Y}}^{x- \sigma_{X}} {(x-y)^{-\alpha}*y^{-(\beta+1)}}dy[/mm]
>
> mit [mm]\sigma_{X}, \beta, \alpha[/mm] > 0
> Hallo Leute,
>
> für mein Seminar muss ich die Tail-Subadditivität von VaR
> bei Paretoverteilung zeigen. Dafür versuche ich die Faltung
> zwei unabhängig paretoverteilten (mit unterschiedlichen
> Exponenten) Zufallsvariablen zu berechnen, d.h.
>
> Für die Verteilung von X mit Parametern [mm]\sigma_{X}, \beta[/mm] >
> 0 gilt
>
> [mm]F_{X}[/mm] (x) = [mm]1-(\bruch{\sigma_{X}}{x})^{\beta }[/mm] für x
> [mm]\ge \sigma_{X}[/mm]
>
> Entsprechend gilt für die VF von Y:
>
> [mm]F_{Y}[/mm] (x) = [mm]1-(\bruch{\sigma_{Y}}{x})^{\beta }[/mm] für x
> [mm]\ge \sigma_{Y}[/mm]
> Für die Berechnung der VF von X+Y benutze
> ich die Faltungsformel und erhalte:
>
> 1 [mm]F_{(X+Y)}[/mm] (x) =
> [mm]\sigma_{X}^{\alpha}\*\beta\*\sigma_{Y}^{\beta}\*[/mm]
> [mm]\integral_{\sigma_{Y}}^{x- \sigma_{X}} {(x-y)^{-\alpha}*y^{-(\beta+1)}}dy[/mm]
>
> Und hier komme ich nicht mehr weiter
> Integral sieht einfach aus, lässt sich aber nicht exakt
> bestimmen.Hat jemand vielleicht eine Idee, wie ich das
> Integral berechnen/approximieren kann?
Das führt auf die unvollständige Betafunktion (![[]](/images/popup.gif) Abramowitz und Stegun,Abschnitt 6.6).
Mit der Substitution [mm]y=t*x[/mm] entsteht:
[mm] 1- F_{(X+Y)}(x) = \sigma_{X}^{\alpha}*\beta*\sigma_{Y}^{\beta}*\integral_{\sigma_{Y}/x}^{1- \sigma_{X}/x} {(x-x*t)^{-\alpha}*(x*t)^{-(\beta+1)}}*x*dt [/mm]
[mm]= \sigma_{X}^{\alpha}*\beta*\sigma_{Y}^{\beta}*x^{-\alpha-\beta+2}* \integral_{\sigma_{Y}/x}^{1- \sigma_{X}/x} (1-t)^{-\alpha} * t^{-(\beta+1)}\, dt[/mm]
[mm] = \sigma_{X}^{\alpha}*\beta*\sigma_{Y}^{\beta}*x^{-\alpha-\beta+2}* \left(B_{1- \sigma_{X}/x}(-\beta,1-\alpha) - B_{\sigma_{Y}/x}(-\beta,1-\alpha)\right)[/mm]
> Da ich nur die Tail-Subadditivität untersuche, würde mir die Berechnung für x -> Unendlich reichen.
[mm] \lim_{x\rightarrow\infty} \integral_{\sigma_{Y}/x}^{1- \sigma_{X}/x} (1-t)^{-\alpha} * t^{-(\beta+1)}\, dt
= \integral_{0}^{1} (1-t)^{-\alpha} * t^{-(\beta+1)}\, dt = B(-\beta,1-\alpha) = \bruch{\Gamma(-\beta)\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(1-\alpha-\beta)}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Sa 29.12.2007 | | Autor: | pinclady |
WUAU... bin überrascht, hat nicht so schnell mit einer Antwort gerechnet. Ich sitze schon paar tage daran. vielen lieben dank!!!!
Ich werde jetzt versuchen die Lösung nachzuvollziehen.
LG
Tatiana
|
|
|
|
