Integral Berechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Do 18.01.2007 | | Autor: | alx3400 |
| Aufgabe | Berechnen sie das Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\vektor{\bruch{sin(x)}{x}}^{3} dx} [/mm] |
Hallo,
hier weiss ich gar nicht, was ich machen soll. Normales Lösen mit partieller Integration oder ähnlichem scheint zu versagen.
Wir machen zur Zeit Sachen wie Fourier-Transformatio und Faltung. Vielleicht kann man damit ja was machen, aber da weiss ich auch keinen Ansatz.
Danke schonmal für Antworten
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Zweimal partiell integrieren, indem man mit einer Stammfunktion von [mm]\frac{1}{x^3}[/mm] bzw. [mm]\frac{1}{x^2}[/mm] beginnt, liefert
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin^3{x}}{x^3}~\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \int_0^{\infty}~\frac{\sin^2{x} \, \cos{x}}{x^2}~\mathrm{d}x = \frac{3}{2} \int_0^{\infty}~\frac{\left( 2 - 3 \sin^2{x} \right) \sin{x}}{x}~\mathrm{d}x[/mm]
Hierbei wurde zuletzt auch noch [mm]\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}[/mm] verwendet.
Das Integral zerfällt im wesentlichen in [mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin{x}}{x}~\mathrm{d}x[/mm] und [mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin^3{x}}{x}~\mathrm{d}x[/mm]. Und das letzte Integral kann man mittels der Formel
[mm]\sin^3{x} = \frac{1}{4} \left( 3 \sin{x} - \sin{3x} \right)[/mm]
weiter zerlegen. Beim Subtrahenden ist dann noch [mm]3x = t[/mm] zu substituieren. Letztlich läßt sich also alles auf
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin{x}}{x}~\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}[/mm]
zurückführen. Ich habe
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{\sin^3{x}}{x^3}~\mathrm{d}x = \frac{3}{8} \pi[/mm]
erhalten.
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