Integral/Betrag < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Für welche a [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] =8 ? |
[mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2|dx}=8 [/mm] = [mm] |2*2-2^2|-|2a-a^2|=8
[/mm]
[mm] -|2a-a^2|=8
[/mm]
Jetzt muss ich eine Fallunterscheidung machen:
[mm] 2a-a^2 [/mm] >0
[mm] -2a+a^2=8
[/mm]
[mm] a^2-2a-8=0
[/mm]
=> [mm] a_{1,2} [/mm] = 4,-2
[mm] 2a-a^2 [/mm] < 0
[mm] --(2a-a^2)=8
[/mm]
[mm] 2a-a^2 [/mm] = 8
[mm] 2a-a^2-8=0
[/mm]
[mm] a^2-2a+8=0
[/mm]
=> keine Lösung
4 und -2 sind Lösungen aber sind es schon alle?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 So 18.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Welche Funktion abgeleitet ergibt die Betragsfunktion? Leite mal Deine "Stammfunktion" ab. Dann merkst Du, dass das nicht stimmen kann, was Du da gemacht hast. Als nächstes plotte mal die Funktion.
Dann: suche die Nullstellen des Integranden, zerlege das Integral in Teile, so dass Du den Betrag weglassen kannst und dann suche die Lösung für a.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
> Welche Funktion abgeleitet ergibt die Betragsfunktion?
Mir wäre spontan die Signumfunktion eingefallen. Aber die Signums-Funktion ist im Ursprung nicht differenzierbar.
> Leite mal Deine "Stammfunktion" ab
[mm] \integral |2x-x^2| [/mm] dx = | [mm] x^2-\frac{x^3}{3} [/mm] |
> suche die Nullstellen des Integranden
[mm] x^2*(1-x/3)
[/mm]
[mm] x^2=0 [/mm] <=> [mm] x_1=0
[/mm]
1-x/3 =0 <=> [mm] x_2=3
[/mm]
bei 0 und 3
> Zerlege den Integrand in Teile
Das versteh ich nicht mehr, wie ich das jetzt weiter machen soll
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Hallo sissile,
> > Welche Funktion abgeleitet ergibt die Betragsfunktion?
> Mir wäre spontan die Signumfunktion eingefallen. Aber die
> Signums-Funktion ist im Ursprung nicht differenzierbar.
>
> > Leite mal Deine "Stammfunktion" ab
> [mm]\integral |2x-x^2|[/mm] dx = | [mm]x^2-\frac{x^3}{3}[/mm] |
>
> > suche die Nullstellen des Integranden
> [mm]x^2*(1-x/3)[/mm]
Der Integrand lautet doch: [mm]\vmat{2x-x^{2}}[/mm]
> [mm]x^2=0[/mm] <=> [mm]x_1=0[/mm]
> 1-x/3 =0 <=> [mm]x_2=3[/mm]
> bei 0 und 3
>
> > Zerlege den Integrand in Teile
> Das versteh ich nicht mehr, wie ich das jetzt weiter
> machen soll
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 18.03.2012 | | Autor: | sissile |
$ [mm] \vmat{2x-x^{2}} [/mm] $ davon sind die Nullstellen 0 und 2.
ABer ich weiß noch immer nicht wie ich die aufgabe nun löse?
$ [mm] \integral_{a}^{2} |2x-x^2| [/mm] $ dx = | $ [mm] x^2-\frac{x^3}{3} [/mm] $ | = [mm] |2^2 -\frac{8}{3}| [/mm] - [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
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Hallo sissile,
> [mm]\vmat{2x-x^{2}}[/mm] davon sind die Nullstellen 0 und 2.
>
> ABer ich weiß noch immer nicht wie ich die aufgabe nun
> löse?
>
> [mm]\integral_{a}^{2} |2x-x^2|[/mm] dx = | [mm]x^2-\frac{x^3}{3}[/mm] | =
> [mm]|2^2 -\frac{8}{3}|[/mm] - [mm]|a^2-\frac{a^3}{3}|[/mm] =8
Das ist richtig, falls [mm]0 \le a \le 2[/mm].
Mache zunächst eine Fallunterscheidung hinsichtlich a.
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:08 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] |2^2 -\frac{8}{3}| [/mm] $ - $ [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] $ =8
> Das ist richtig, falls $ 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 2 $.
> Mache zunächst eine Fallunterscheidung hinsichtlich a.
[mm] |\frac{12-8}{3}| [/mm] - [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
<=>
[mm] |\frac{4}{3}| -|a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
<=>
[mm] \frac{4}{3} -|a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
[mm] -\frac{20}{3} [/mm] - [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =0
=> Und das hat keine Lösung, was mache ich falsch?
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> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}[/mm] =8 ?
Hallo,
bevor Du munter einfach irgendwie drauflosintegrierst, solltest Du Dich mal mit der zu integrierenden Funktion beschäftigen.
Es ist nämlich
[mm]|2x-x^2 |:=\begin{cases} 2x-x^2, & \mbox{fuer } 2x-x^2\ge 0 \\
-(2x-x^2), & \mbox{fuer } 2x-x^2<0 \end{cases}[/mm]
Wenn Du hierüber ein wenig nachdenkst, dann stellst Du fest
[mm]|2x-x^2 |:=\begin{cases}-(2x-x^2), & \mbox{fuer } x>2\\
2x-x^2, & \mbox{fuer } 0\le x \le 2 \\
-(2x-x^2), & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
Nun mach eine Fallunterscheidungen:
A. a>2
B. 0<a<2
C. a<0
A. a>2
Dann ist 8= [mm] $\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}$ =-$\integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx}$ [/mm] = ...
Wir haben es nun nur mit x-Werten zu tun, die größer als 2 sind, also
[mm] ...=-$\integral_{2}^{a}{-(2x-x^2)dx}$ [/mm]
B. 0<a<2
Dann ist 8= [mm] $\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}$= [/mm] ???
Wie kann man das ohne Betragstriche schreiben? Dann integrieren.
C. a<0
Dann ist 8= [mm] $\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}$= $\integral_{a}^{0}{|2x-x^2 |dx}$+$\integral_{0}^{2}{|2x-x^2 |dx}$=???
[/mm]
Schreib jeweils ohne Betragstriche und integriere.
LG Angela
> [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2|dx}=8[/mm] = [mm]|2*2-2^2|-|2a-a^2|=8[/mm]
> [mm]-|2a-a^2|=8[/mm]
>
> Jetzt muss ich eine Fallunterscheidung machen:
> [mm]2a-a^2[/mm] >0
> [mm]-2a+a^2=8[/mm]
> [mm]a^2-2a-8=0[/mm]
> => [mm]a_{1,2}[/mm] = 4,-2
>
>
> [mm]2a-a^2[/mm] < 0
> [mm]--(2a-a^2)=8[/mm]
> [mm]2a-a^2[/mm] = 8
> [mm]2a-a^2-8=0[/mm]
> [mm]a^2-2a+8=0[/mm]
> => keine Lösung
>
> 4 und -2 sind Lösungen aber sind es schon alle?
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sissile |
Danke für den großen Tipp!
A)
> Dann ist 8= $ [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $ =-$ [mm] \integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $ =-$ [mm] \integral_{2}^{a}{-(2x-x^2)dx} [/mm] $
= - [mm] (-x^2 [/mm] + [mm] \frac{x^3}{3})= x^2- \frac{x^3}{3}
[/mm]
= [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] - [mm] (2^2-\frac{2^3}{3})= a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] - 4/3
0= [mm] a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3} [/mm] - 28/3
0= [mm] 3a^2 [/mm] - [mm] a^3 [/mm] - 28
Da weiß ich nun nicht weiter, wie ich das lösen kann!!
> B. 0<a<2
> Dann ist 8= $ [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $= ???
[mm] \integral_{a}^{2}{2x-x^2 dx} [/mm] = [mm] x^2-\frac{x^3}{3}
[/mm]
[mm] =2^2-\frac{2^3}{3} [/mm] - [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] = -2/3 - [mm] a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3}
[/mm]
0= -26/3 - [mm] a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3}
[/mm]
Da stecke ich wieder bei der Lösbarkeit.
0= -26 - [mm] 3a^2 [/mm] - [mm] a^3
[/mm]
> C. a<0
> Dann ist 8= $ [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $= $ [mm] \integral_{a}^{0}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $+$ [mm] \integral_{0}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $=???
[mm] \integral_{a}^{0}{- (2x-x^2) dx}+ \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}=x^2 -\frac{x^3}{3}= 2^2-\frac{2^3}{3}= [/mm] 4/3
[mm] \integral_{a}^{0}{-(2x-x^2) dx}= -x^2 +\frac{x^3}{3}= 0-(-a^2+\frac{a^3}{3})= a^2- \frac{a^3}{3}
[/mm]
Insgesamt
8= [mm] \integral_{a}^{0}{ - (2x-x^2) dx}+\integral_{0}^{2}{2x- x^2 dx} [/mm] = [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] +4/3
<=>
0= [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] - 20/3
[mm] 0=3a^2-a^3 [/mm] -20
Du siehst ich scheitere jeweils bei der Lösung der Gleichung.
Kannst du mir da nochmal helfen?
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> Danke für den großen Tipp!
>
> A) a>2
> > Dann ist 8= [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}[/mm] =-[mm] \integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx}[/mm]
Hallo,
im Grunde kann man an dieser Stelle bereits aufhören:
[mm] |2x-x^2|\ge [/mm] 0 für [mm] x\in [/mm] [2,a].
Also ist -$ [mm] \integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx}$ \le [/mm] 0, und Du hast einen Widerspruch.
> =-[mm] \integral_{2}^{a}{-(2x-x^2)dx}[/mm]
> = - [mm](-x^2[/mm] +
> [mm]\frac{x^3}{3})= x^2- \frac{x^3}{3}[/mm]
> = [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] -
> [mm](2^2-\frac{2^3}{3})= a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] - 4/3
>
> 0= [mm]a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3}[/mm] - 28/3
> 0= [mm]3a^2[/mm] - [mm]a^3[/mm] - 28
> Da weiß ich nun nicht weiter, wie ich das lösen kann!!
Du hast [mm] -28=a^3-3a^2=a^2(a-3)>... [/mm] Bedenke, daß a>2 und schätze ab.
>
>
> > B. 0<a<2
> > Dann ist 8= [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm]= ???
> [mm]\integral_{a}^{2}{2x-x^2 dx}[/mm] = [mm]x^2-\frac{x^3}{3}[/mm]
> [mm]=2^2-\frac{2^3}{3}[/mm] - [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] = -2/3 - [mm]a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
Moment! Hier fehlen doch Klammern, und außerdem gibt's einen Rechenfehler.
Schätze nach dem Verbessern wieder ab und zeige, daß es keine Lösung gibt.
Andere Idee:
Berechne das Integral von 0 bis 2 und überlege...
>
> 0= -26/3 - [mm]a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
> Da stecke ich wieder bei der Lösbarkeit.
> 0= -26 - [mm]3a^2[/mm] - [mm]a^3[/mm]
>
> > C. a<0
>
> > Dann ist 8= [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm]=
> [mm]\integral_{a}^{0}{|2x-x^2 |dx} [/mm]+[mm] \integral_{0}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm]=???
>
> [mm]\integral_{a}^{0}{- (2x-x^2) dx}+ \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}=x^2 -\frac{x^3}{3}= 2^2-\frac{2^3}{3}=[/mm] 4/3
> [mm]\integral_{a}^{0}{-(2x-x^2) dx}= -x^2 +\frac{x^3}{3}= 0-(-a^2+\frac{a^3}{3})= a^2- \frac{a^3}{3}[/mm]
>
> Insgesamt
> 8= [mm]\integral_{a}^{0}{ - (2x-x^2) dx}+\integral_{0}^{2}{2x- x^2 dx}[/mm]
> = [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] +4/3
> <=>
> 0= [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] - 20/3
> [mm]0=3a^2-a^3[/mm] -20
<==>
[mm] a^3-3a^2+20=0
[/mm]
Der Leitkoeffizient (Faktor vor [mm] a^3) [/mm] ist 1.
Sofern es ganzzahlige Lösungen gibt, sind diese Teiler von 20.
Es lohnt sich also, zunächst mal die (pos. und neg.) Teiler von 20 durchzuprobieren.
LG Angela
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> Du siehst ich scheitere jeweils bei der Lösung der
> Gleichung.
> Kannst du mir da nochmal helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 19.03.2012 | | Autor: | sissile |
A ist nun klar, vielen dank ;)
B)
[mm] 8=\integral_{a}^{2} |2x-x^2| [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{2} 2x-x^2 [/mm] dx = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{x^3}{3}
[/mm]
= (4- 8/3) - [mm] (a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3}) [/mm] = 4/3 - [mm] a^2 [/mm] + [mm] \frac{a^3}{3}
[/mm]
Ich weiß nicht genau wie ich am betsen abschätze und vorallem in welche Richtung!
8= 4/3 - [mm] a^2 [/mm] + [mm] \frac{a^3}{3} [/mm] < 4/3 + [mm] \frac{a^3}{3}
[/mm]
Auch wenn ich hier den größten wert, den a erreichen kann (2) einsetzte kommt nie was größeres als 8 raus
AUf die andere idee bin ich nicht gekommen ;(
C
Ich glaub da gibts keine ganze Zahl, die zu 0 fürhren würde ;(
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> A ist nun klar, vielen dank ;)
>
> B)
> [mm]8=\integral_{a}^{2} |2x-x^2|[/mm] dx = [mm]\integral_{a}^{2} 2x-x^2[/mm]
> dx = [mm]x^2[/mm] - [mm]\frac{x^3}{3}[/mm]
> = (4- 8/3) - [mm](a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3})[/mm] = 4/3 - [mm]a^2[/mm] +
> [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
>
> Ich weiß nicht genau wie ich am betsen abschätze und
> vorallem in welche Richtung!
>
> 8= 4/3 - [mm]a^2[/mm] + [mm]\frac{a^3}{3}[/mm] < 4/3 + [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
> Auch wenn ich hier den größten wert, den a erreichen
> kann (2) einsetzte kommt nie was größeres als 8 raus
Hallo,
aha.
Du hast doch dann 8<12/3=4.
Widerspruch! Also gibt es solch ein a nicht.
>
> AUf die andere idee bin ich nicht gekommen ;(
Was hast Du denn fürs Integral von 0 bis 2 bekommen?
Und dann überleg Dir, ob das Integral/die Fläche, die Du ausrechnen willst, größer oder kleiner ist.
>
> C
> Ich glaub da gibts keine ganze Zahl, die zu 0 fürhren
> würde ;(
Zum Glauben gehen wir in den Tempel.
Welche Teiler hast Du getestet?
Hast Du in $ [mm] a^3-3a^2+20=0 [/mm] $
mal ein paar Werte eingesetzt, z.B. a=-100 und a=0?
Was stellst Du fest, was schließt Du daraus?
Oder geplottet?
Wenn Du ansatzweise weißt, was das Integral mit dem Graphen des Integranden zu tun hat und Du Dir die zu integierende Funktion mal geplottet hast, wirst Du wissen, daß es so ein a geben muß.
Zum Bestimmen ist nun Aktivität gefragt, nicht Glauben.
Nochmal ein wenig zusammenfassend:
Du hast gemerkt, daß Du diese Aufgabe rein rechnerisch angehen kannst - und man sollte das auch wirklich mal machen und können.
Der Witz hierbei war, nicht einfach irgendwas zu tun, sondern sich erstmal zu überlegen, was "Betragsfunktion" eigentlich bedeutet und dann entsprechend zu handeln, also zu rechnen.
Bequemer kommt man mit meinen zwischendurch gemachten Bemerkungen zum Ziel, welche durch Denken einiges an Rechnerei ersparen.
Wenn man sich die Funktion mal skizziert hat, sieht man gleich, daß es
kein a>2 geben kann, mit welchem beim Integral 8 herauskommt, denn die Integrationsrichtung geht ja dann von rechts nach links bei einer positiven Funktion.
Als nächstes wird einem beim Sinnieren über "Fläche unterm Graphen" klar, daß es solch ein a geben muß, und daß es nicht zwei geben kann.
Wenn man nun grade mal die Fläche zwischen 0 und 2 berechnet, weiß man, ob das gesuchte a zwischen 0 und 2 liegt, oder ob es kleiner als 0 ist.
Wenn man vorher schon von 0 bis 2 integriert hat, braucht man nun eigentlich nur noch von a bis 0 zu integrieren und nachzugucken, für welches a man [mm] (8-\integral_0^2) [/mm] herausbekommt.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Di 20.03.2012 | | Autor: | sissile |
Tausendhundert dank ;))
a=-2
LG
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