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Forum "Integralrechnung" - Integral: Bogenlänge
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Integral: Bogenlänge: Frage zu 1 Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Mi 30.03.2005
Autor: weissgroup

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich hätte folgende (bescheuerte) Frage:
Besitzt irgendjemand die Güte (und das Können), die Bogenlänge von
der Funktion [mm] f(x) = x \wurzel{x} [/mm]  von x=1 bis x=3 auszurechnen?

Die Formel ist ja [mm] B = \integral_{a}^{b} {\wurzel{1+[f'(x)]²} [/mm], ich bin aber schon an [mm] [f'(x)]²} [/mm] gescheitert.
        
Bezug
Integral: Bogenlänge: Tipps für die Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mi 30.03.2005
Autor: Loddar

Hallo weissgroup,


zunächst einmal [willkommenmr] !!


$f(x) \ = \ x * [mm] \wurzel{x}$ [/mm]

Die Ableitung kannst Du hier auf zwei Wege ermitteln. Entweder mit der MBProduktregel oder auf meinen Weg ;-) ...


Wir schreiben einfach mal den Funktionsterm um:

$f(x) \ = \ x * [mm] \wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] x^1 [/mm] * [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] x^{1 + \bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{3}{2}}$ [/mm]

Nun können wir ganz einfach die MBPotenzregel anwenden:  [mm] $\left( \ x^n \ \right)' [/mm] \ = \ n * [mm] x^{n-1}$ [/mm]


Durch die Formel mit dem [mm] $\left[f'(x)\right]^2$ [/mm] vereinfacht sich der Ausdruck sogar.


Für die Bildung der Stammfunktion (Integration) mußt Du dann mit dem Verfahren der Substitution arbeiten ...


Kommst Du nun alleine weiter?

Sonst poste doch mal Deine weiteren Schritte oder frag' nochmal nach ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Integral: Bogenlänge: Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mi 30.03.2005
Autor: weissgroup

erstmal vielen Dank für deine Hilfe.

also, ich bin jetzt bei      [mm] 1+[f(x)]² = 1+\bruch{9x}{4} [/mm].

Wie genau integriere ich das jetzt? Ich bin mit der Substitutionsregel nicht so vertraut (in meinem Mathebuch ist sie sehr unklar beschrieben), ich weiß nichtmal, was eine Verkettung  ist.  Kannst du mir da helfen?
Bezug
                        
Bezug
Integral: Bogenlänge: Substitutionsregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Mi 30.03.2005
Autor: Loddar

Hallo weissgroup!


> also, ich bin jetzt bei      [mm]1+[f(x)]² = 1+\bruch{9x}{4} [/mm].

Kleiner Tippfehler: [mm]1+[f\red{'}(x)]² = 1+\bruch{9x}{4} [/mm]



> Wie genau integriere ich das jetzt? Ich bin mit der
> Substitutionsregel nicht so vertraut (in meinem Mathebuch
> ist sie sehr unklar beschrieben).

Wir haben nun also folgendes Integral zu lösen:

$B \ = \ [mm] \integral_{1}^{3} {\wurzel{1+\bruch{9}{4}x} \ dx}$ [/mm]


Dies ist nun nicht unbedingt ein "Standard-Integral".

Stünde da nur [mm] $\integral_{}^{} {\wurzel{\red{x}} \ dx}$, [/mm] wäre es ja kein Problem die Stammfunktion über die MBPotenzregel zu ermitteln.

Also versuchen wir, genau so etwas zu erzeugen.


Ich ersetze (= "substituiere") einfach mal:  $z \ := \ [mm] 1+\bruch{9}{4}x$ [/mm]

Dann wird aus unserem Integral:

$B \ = \ [mm] \integral_{x_1=1}^{x_2=3} {\wurzel{\red{z}} \ \blue{dx}}$ [/mm]


Leider stimmen nun unsere Variable in der Wurzel (= [mm] $\red{z}$) [/mm] und die Integrationsvariable (= x, wegen [mm] $\blue{dx}$) [/mm] nicht überein.

Wir müssen also auch dieses [mm] $\blue{dx}$ [/mm] ersetzen.

Dies' erreichen wir über die Ableitung:  [mm] $\red{z}' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{dz}}{\blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{4}$ [/mm]

Umgestellt nach [mm] $\blue{dx}$ [/mm] erhalten wir:  [mm] $\blue{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{9}*\red{dz}$ [/mm]

Auch dies nun in unser Integral einsetzen:

$B \ = \ [mm] \integral_{x_1=1}^{x_2=3} {\wurzel{\red{z}} \ \bruch{4}{9}*\red{dz}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{9} [/mm] * [mm] \integral_{x_1=1}^{x_2=3} {\wurzel{\red{z}} \ \red{dz}}$ [/mm]


Leider sind wir immer noch nicht ganz fertig, denn die Integrationsgrenzen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] müssen auch zuerst auf z-Werte umgerechnet werden:

[mm] $z_1 [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{9}{4}*x_1 [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{9}{4}*1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{13}{4}$ [/mm]

[mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{9}{4}*x_2 [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{9}{4}*3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{31}{4}$ [/mm]


Damit wird aus unserem Integral:

$B \ = \ [mm] \bruch{4}{9} [/mm] * [mm] \integral_{z_1=\bruch{13}{4}}^{z_2=\bruch{31}{4}} {\wurzel{\red{z}} \ \red{dz}}$ [/mm]

$B \ = \ [mm] \bruch{4}{9} [/mm] * [mm] \integral_{\bruch{13}{4}}^{\bruch{31}{4}} {\red{z}^{\bruch{1}{2}} \ \red{dz}}$ [/mm]


Nun "dürfen" wir endlich integrieren ;-) ...
Dabei verwenden wir die MBPotenzregel für's Integrieren.

$B \ = \ [mm] \bruch{4}{9} [/mm] * [mm] \left[ \bruch{2}{3} * \red{z}^{\bruch{3}{2}} \right]_{\bruch{13}{4}}^{\bruch{31}{4}}$ [/mm]


Wenn Du nun noch die entsprechenden Grenzen einsetzt, erhältst Du Deine gewünschte Bogenlänge.


Ich hoffe, ich konnte etwas helfen und Du siehst etwas klarer ...

Gruß
Loddar

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Integral: Bogenlänge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:19 Do 31.03.2005
Autor: weissgroup

Oh, du hast mir das eben anschaulicher beigebracht als mein Buch!
Ich danke!
Bezug
                
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Integral: Bogenlänge: Prima ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Do 31.03.2005
Autor: Loddar

Gern geschehen [hut] ... Hauptsache, Du hast es jetzt verstanden!


[gutenacht]
Loddar

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Bezug
Integral: Bogenlänge: Einfache Beispiele?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Do 31.03.2005
Autor: weissgroup

Eine Frage hätte ich noch:

Fallen euch einige "leichte" [mm]f(x)[/mm] ein, aus denen man die Bogenlänge leicht berechnen kann, d.h. so wenig umständlich wie möglich?

Ich wäre natürlich auch für ein paar Beispiele für die Oberflächenberechnung dankbar!
Bezug
                
Bezug
Integral: Bogenlänge: Gaanz leichtes Beispiel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Fr 01.04.2005
Autor: Loddar

Hallo weissgroup!


Gaaanz besonders leicht Beispiele wären natürlich Geraden $y \ = \ m*x + b$.
(Man traut sich kaum, dies als Beispiel aufzuführen ... [peinlich] )


Aber zum (anfänglichen) Üben und Anwenden der Formel für die Bogenlänge vielleicht gar nicht soo ungeeignet!


Gruß
Loddar

Bezug
                
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Integral: Bogenlänge: weitere Beispiele
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Sa 02.04.2005
Autor: Zwerglein

Hi, weissgroup,

hier weitere einfache Beispiele:
Berechne jeweils die Bogenlänge zwischen x=a und x=b für folgende (durch ihre Funktionsterme gegebenen) Funktionen:
1. f(x) = 2x - 3. mit: a=1; b=4. (Streckenlänge!)
2. f(x) = [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] für a=-1; b=+1. (Halbkreis um O mit Radius 1!)

Lösung zu 1: [mm] 3*\wurzel{5} [/mm]
Lösung zu 2: [mm] \pi [/mm]
Bezug
                
Bezug
Integral: Bogenlänge: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:04 So 03.04.2005
Autor: weissgroup

Vielen Dank an euch!

Wem noch weitere Beispiele einfallen, bitte hier posten (hab deshalb den Fragestatus aktualisiert)!
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