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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 31.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^3\to\IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y,z)=4xy*1_{[0,1]^3}(x,y,z)
[/mm]
Es sei (X,Y,Z) ein Zufallsvektor, dessen Verteilung die Wkeitsdichte f besitzt.
Bestimmen Sie P(X<Y<Z). |
Hallo!
Ich hab mir mal gedacht, dass die obige Aufgabe anders löse als in der Musterlösung.
Man soll ja P(A) berechnen mit [mm] A=\{(x,y,z)\in\IR^3,0\le x
In der Musterlösung wurde A umgeschrieben in [mm] [0,1]\times[0,z)\times[0,y)
[/mm]
Damit erhält man [mm] P(A)=\bruch{1}{10}
[/mm]
Wenn ich allerdings [mm] A=[0,1]\times(x,z)\times[0,1] [/mm] verwende erhalte ich [mm] P(A)=-\bruch{1}{6}
[/mm]
Habe ich A falsch umgeschrieben?
Es gibt eigentlich etliche Möglichkeiten A in ein kartesisches Produkt umzuschreiben oder?
Hier mal meine Rechnung dazu:
[mm] P(A)=\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz\integral_{(x,z)}dy [/mm] 4xy
[mm] =\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz [2xz^2-2x^3]
[/mm]
[mm] =\integral_{(0,1)}dx(\bruch{2}{3}x-2x^3)
[/mm]
=1/3-1/2=-1/6
Viele Grüße
Christian
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Hallo Fry,
> Sei [mm]f:\IR^3\to\IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f(x,y,z)=4xy*1_{[0,1]^3}(x,y,z)[/mm]
> Es sei (X,Y,Z) ein Zufallsvektor, dessen Verteilung die
> Wkeitsdichte f besitzt.
> Bestimmen Sie P(X<Y<Z).
> Hallo!
>
> Ich hab mir mal gedacht, dass die obige Aufgabe anders
> löse als in der Musterlösung.
>
> Man soll ja P(A) berechnen mit [mm]A=\{(x,y,z)\in\IR^3,0\le x
>
> In der Musterlösung wurde A umgeschrieben in
> [mm][0,1]\times[0,z)\times[0,y)[/mm]
> Damit erhält man [mm]P(A)=\bruch{1}{10}[/mm]
>
> Wenn ich allerdings [mm]A=[0,1]\times(x,z)\times[0,1][/mm] verwende
> erhalte ich [mm]P(A)=-\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Habe ich A falsch umgeschrieben?
Ja, hier hast Du nicht berücksichtigt, daß [mm] Z > X[/mm] sein muß.
> Es gibt eigentlich etliche Möglichkeiten A in ein
> kartesisches Produkt umzuschreiben oder?
>
> Hier mal meine Rechnung dazu:
>
> [mm]P(A)=\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz\integral_{(x,z)}dy[/mm]
> 4xy
> [mm]=\integral_{(0,1)}dx\integral_{(0,1)}dz [2xz^2-2x^3][/mm]
>
> [mm]=\integral_{(0,1)}dx(\bruch{2}{3}x-2x^3)[/mm]
> =1/3-1/2=-1/6
>
> Viele Grüße
> Christian
Gruß
MathePower
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Schon die Annahme, daß [mm]A[/mm] "umgeschrieben" wurde, ist falsch. [mm][0,1] \times [0,z) \times [0,y)[/mm] ist ja von [mm]z,y[/mm] abhängig und kann schon deshalb nicht gleich [mm]A[/mm] sein, denn [mm]A[/mm] hängt von keinen Parametern ab.
[mm]A[/mm] ist kein kartesisches Produkt dreier Intervalle! Solche sind immer achsenparallele Quader. [mm]A[/mm] ist aber eine Pyramide!
Skizziere dir einmal die Menge [mm]A[/mm] aller Punkte [mm](x,y,z)[/mm] mit [mm]0 \leq x < y < z \leq 1[/mm].
Du solltest dir den Satz von Fubini noch einmal genau anschauen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo ihr beiden,
habe jetzt die Mengen angepasst und jetzt hats rechnerisch geklappt.
Danke!
@Leopold:
Habe mir mal ne Zeichnung gemacht und eingesehen, dass die Mengen unterschiedlich sind
Könntest du mir nochmal erklären, warum man dann aber einfach "über das kartesische Produkt" integriert bzw wie man den Integrationsweg "herausfindet"?
Würde mir auch vorstellen, dass die Funktion entsprechend außerhalb von A =0 ist und man daher den Integrationsbereich ausdehnen kann.
Wäre toll, wenn du versuchen könntest, dass etwas zu erklären. Danke!
Gruß
Christian
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