Integral / Intervall [0;b] < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 30.08.2007 | | Autor: | RMW |
| Aufgabe | | Bisher haben wir nur den Flächeninhalt einer Fläche über dem Intervall [0;1] berechnet. Berechne jetzt den Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen von f mit f(x)=x² über dem Intervall [0;b]. |
Moin,
ich hab da mal nen Ansatz gemacht, habe jedoch keinen blassen schimmer ob das auch nur im geringsten richtig ist.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[1/6*(1-b/n)*(2-b/n)] [/mm] < = A = < [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [1/6*(1+b/n)*(2+b/n)]
1/6 * 1b * 2b < = A = < 1/6 * 1b * 2b
1/3b² = A
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Du berechnest diese Aufgabe wie bisher, nur das hier als obere Grenze die Variable b steht, bisher habt Ihr mit konktreten Zahlen gerechnet, jetzt eben mit b.
[mm] \integral_{0}^{b}{x^{2} dx}=\bruch{1}{3}x^{3} |^{b}_0
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}b^{3}-\bruch{1}{3}0^{3}=\bruch{1}{3}b^{3}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 30.08.2007 | | Autor: | RMW |
THX!
Das es sich um das Gleiche handelt und ich somit die 1 durch eine Variable "b" ersetzte ist mir klar... nur fehlt mir der Weg... wie komme ich denn zu den 1/3b³?
Kannst du mir vll sagen was ich an meinere Rechnung falsch gemacht habe (wenn nicht alles^^)
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr habt offensichtlich noch keine Formeln für Integrale, sondern rechnet mit Unter und Obersummen.
dann Teilst du das Intervall 0 bis b in n Teile, deren Länge ist dann b/n , die Höhe an der kten Stelle ist [mm] (k*b/n)^2)
[/mm]
du hast also
[mm] $(b/n*((0)^2+(b/n)^2+(2*b/n)^2+...((n-1)*b/n)^2 [/mm] )< A$
für die Untersumme, (die Obersumme geht eins weiter.)
jetzt [mm] (b/n)^2 [/mm] ausklammern dann hast du
[mm] $(b/n)^3*(1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2)$
[/mm]
für die hintere Klammer habt ihr sicher schon bei der Integration bis 1 die richtige Formel gekriegt. Die setzest du jetzt ein, teilst durch [mm] n^3 [/mm] und dann den Grenzwert.
ists so klar? sonst frag noch mal.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 30.08.2007 | | Autor: | RMW |
Richtig. Wir rechnen noch mit der Ober- und Untersumme.
Das mit der kten stelle leuchtet mir auch ein.
Was meinst du mit (die Obersumme geht eins weiter.) ?
Meinst du das bei der Obersumme zu t $ [mm] (b/n\cdot{}((0)^2+(b/n)^2+(2\cdot{}b/n)^2+...((n-1)\cdot{}b/n)^2 [/mm] )< A $ noch [mm] (n*(b/n)^2) [/mm] hinzukommt...dann hab ich das auch verstanden... für mich ergibt das dann auch so sinn.(wenn nicht dann bin ich verwirrt^^)
(b/n) ausklammern leuchtet mir auch ein.
Ich hab hier irgendwie garkeine formel... glaub ich zumindestens.
Vielleicht machst du dir ja nochmal die mühe ;)
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh doch noch mal nach, wie ihr das bei der Summe bis 1 gemacht habt! da muss eigentlich irgendwo [mm] 1^2+2^2+...+n^2 [/mm] vorgekommen sein. sonst schreib wie ihrs gemacht habt! Dann such ich den entsprechenden Weg, denn den will ja euer Lehrer!
uns due musst [mm] (b/n)^2 [/mm] ausklammern. mit [mm] (n*b/n)^2 [/mm] als letztes Glied der Obersumme hast du recht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 30.08.2007 | | Autor: | RMW |
Also...
Untersumme (Sn Unterstrich) <=A=< Obersumme (Sn Oberstrich)
also:
[(n-1)*n*(2n-1)]/(n³*6) <=A=< [(n+1)*n*(2n+1)]/(n³*6)
Kürzen mit n³:
1/6 (1-1/n)*(2-1/n)<=A=<1/6 (1+1/n)*(2+1/n)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[1/6*(1-1/n)*(2-1/n)]<=A=<\limes_{n\rightarrow\infty}[1/6*(1+1/n)*(2+1/n)]
[/mm]
1/6*1*2<=A=<1/6*1*2
1/3<=A=<1/3
A=1/3
da hab ich einfach versucht ganz oben 1 gegen b zu ersetzten und bin das dann durch gegangen... und hab das Ergebniss von gaaanz oben raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Do 30.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also...
> Untersumme (Sn Unterstrich) <=A=< Obersumme (Sn
> Oberstrich)
> also:
> [(n-1)*n*(2n-1)]/(n³*6) <=A=< [(n+1)*n*(2n+1)]/(n³*6)
bis ihr da wart, müssen aber vorher ein paar Schritte gewesen sein.
nämlich sat der b/n 1/n und dann [mm] 1/n*(1/n)^2+1/n*(2/n)^2+....1/n*(n/n)^2 [/mm] für die Obersumme.
das sind die Summe dder Flächen der einzelnen Stufen.
dann [mm] 1/n^3 [/mm] ausklammern:
[mm] 1/n^3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
[/mm]
und dann muss euch euer Lehrer gesat haben (oder auch bewiesen, falls ihr "vollständige Induktion kennt) dass :
[mm] (1^2+2^2+....+n^2)=1/6*(n+1)*n*(2n+1) [/mm] ist. das habt ihr dann eingesetz, und dann das Ergebnis. du darfst also die b NICHT in diese Endformel statt der 1 einsetzen, weil die mit der Länge des Intervalls nix zu tun hat!
sondern in der Formel aus meinem vorigen post, wo wir vor der Klammer [mm] (b/n)^3 [/mm] hatten. dann weiter, aus der Formel [mm] n^3 [/mm] ausklammern und dann Grenzübergang, sollte zu [mm] b^3/3 [/mm] führen
jetzt klar?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 31.08.2007 | | Autor: | RMW |
Recht herzlichen Dank an Alle, die sich die Mühe gemacht haben mir zuhelfen.
Und ein ein besonderer geht an Leduart, der mir alles so ausführlich erklärt hat ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Do 30.08.2007 | | Autor: | Excel |
also du willst das Integral von f(x)= [mm] x^2 [/mm] im Intervall (0;b) bilden.
ok
[mm] \integral_{0}^{b}{x^2 dx} [/mm] = [mm] \left[\bruch{1}{3}x^3\right]_0^b
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}b^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}0^3
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}b^3
[/mm]
Hier ist die Formel um [mm] x^2 [/mm] auf [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] aufzuleiten:
[mm] \bruch{1}{n+1}x^{n+1} [/mm] ( für n gibst du die 2 von [mm] x^2 [/mm] an)
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Viele Grüsse
Excel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 30.08.2007 | | Autor: | RMW |
sry, ne nicht wirklich...
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