Integral Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Do 14.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Konvergieren folgende Integrale ? Falls möglich berechnen.
a) [mm] \integral_{-2}^{+\infty}{3^{-x} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{ln(x) dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{0}^{1}{arccos(x) dx}, [/mm] für die Umkehrfunktion des Cosinus arccos: [-1,1] [mm] \to [0,\pi] [/mm] |
Hallo,
Ich habe die Aufgaben gelöst, bin mir jedoch bei einigen etwas unsicher was das Ergebnis angeht.
a) [mm] \integral_{-2}^{+\infty}{3^{-x} dx} [/mm] = [mm] [-\bruch{3^{-x}}{ln(3)}]_{-2}^{\infty}=[-\bruch{1}{ln(3)*3^x}]_{-2}^{\infty}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty}[-\bruch{1}{ln(3)*3^x}]_{-2}^{a}=\limes_{a\rightarrow\infty} -\bruch{1}{ln(3)*3^a}+\bruch{1}{ln(3)*3^{-2}}=0+\bruch{1}{ln(3)*3^{-2}}=\bruch{9}{ln(3)} \approx [/mm] 8,19215 (=> Konvergent)
b) [mm] \integral_{0}^{1}{ln(x) dx} [/mm] = [mm] [x*ln(x)-x]_{0}^1 [/mm] = (1*ln(1)-1) - (0*ln(0)-0) => ln(0) nicht def. => div. !(?)
c) [mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] (ich spare mir hier die Zwischenschritte)
= [mm] [\bruch{ln(\bruch{|x-2|}{|x+2|}}{4}]_{0}^3=\bruch{ln(\bruch{|3-2|}{|3+2|}}{4}-\bruch{ln(\bruch{|0-2|}{|0+2|}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{-ln(5)}{4} \approx [/mm] -0,402559 (Konvergent?!)
d) [mm] \integral_{0}^{1}{arccos(x) dx} [/mm] = [mm] [x*arccos(x)-\wurzel{1-x^2}]_{0}^1=(1*arccos(1)-\wurzel{1-1^2})-(0*arccos(0)-\wurzel{1-0^2}) [/mm] = 0 + 1 = 1 (Konvergent)
Besonders bei der Teilaufgabe c) bin ich mir unsicher, da diese laut ![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha divergiert ?
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Hallo,
a) ist richtig.
Bei Aufgabe b) solltest du dir den Term x*ln(x) für x->0 mal genauer unter die Lupe nehmen, etwa mit der Regel von de l'Hospital, oder einfach mit der Kenntnis, dass das Grenzverhalten von Polynomen das der Logarithmusfunktion dominiert.
c): Dein Fehler liegt hier in der Auswertung des Logarithmus bei der unteren Schranke. Da hast du ein negatives Argument, d.h. das ist gar nicht definiert.
Aufgabe d) ist richtig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 14.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
> c): Dein Fehler liegt hier in der Auswertung des
> Logarithmus bei der unteren Schranke. Da hast du ein
> negatives Argument, d.h. das ist gar nicht definiert.
Es ist doch aber der Betrag ? folglich ist [mm] ln(\bruch{|0-2|}{|0+2}) [/mm] = ln [mm] \bruch{2}{2} [/mm] = ln(1)
Das mit der b) verstehe ich nicht so ganz. Heißt es, dass mein Term (0*ln(0)-0) = 0 wäre, da der ln(0) garnicht zur Berechnung kommt, da er wegen 0*ln(0) sowieso rausfällt und somit das Integral doch konvergiert (gegen -1) ?
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Hallo,
ja, du hast Recht: bei der c) stimmt meine Argumentation nicht. Und wenn ich genauer darüber nachdenke, dann bin ich mir in Sachen Divergenz auch nicht mehr sicher.
FRED hat es ja in seiner Antwort geschrieben: an der Stelle x=2 ist eine Polstelle. Die verursachende Nennernullstelle ist allerdings linear, d.h. die Polstelle hat einen Vorzeichenwechsel.
Wenn wir über Riemann-Integrale reden, dann sind wir jedoch mit Erwähnung dieser Polstelle fertig. Da du das ganze im Maßtheorieforum eingestellt hast, erhebt sich die Frage, ob da nicht daran gedacht ist, den Cauchyschen Hauptwert auszurechnen. Der müsste hier eigentlich existieren, wenn mich nicht alles täuscht. Aber es kommt natürlich darauf an, in welchem Zusammenhang die Aufgaben gestellt sind.
Und bei b) hast du meinen Tipp verstanden.
[mm]\limes_{x\rightarrow{0}}x*ln(x)=0 [/mm]
was man leicht mit der Regel von de l'Hospital zeigt. Ob man es zeigen muss, oder ob es verwendet werden darf, das musst du selbst entscheiden!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Do 14.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ja, du hast Recht: bei der c) stimmt meine Argumentation
> nicht. Und wenn ich genauer darüber nachdenke, dann bin
> ich mir in Sachen Divergenz auch nicht mehr sicher.
>
> FRED hat es ja in seiner Antwort geschrieben: an der Stelle
> x=2 ist eine Polstelle. Die ist allerdings linear, d.h. mit
> Vorzeichenwechsel.
>
> Wenn wir über Riemann-Integrale reden, dann sind wir
> jedoch mit Erwähnung dieser Polstelle fertig.
Hallo Diophant,
wie meinst Du das ?
Das uneigentliche Riemannintegral $ [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ ist divergent.
Damit ist auch $ [mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ divergent.
FRED
> Da du das
> ganze im Maßtheorieforum eingestellt hast, erhebt sich die
> Frage, ob da nicht daran gedacht ist, den Cauchyschen
> Hauptwert auszurechnen. Der müsste hier eigentlich
> existieren, wenn mich nicht alles täuscht. Aber es kommt
> natürlich darauf an, in welchem Zusammenhang die Aufgaben
> gestellt sind.
>
> Und bei b) hast du meinen Tipp verstanden.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow{0}}x*ln(x)=0[/mm]
>
> was man leicht mit der Regel von de l'Hospital zeigt. Ob
> man es zeigen muss, oder ob es verwendet werden darf, das
> musst du selbst entscheiden!
>
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 14.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
Riemann oder nicht Riemann?
Diese Frage habe ich mir halt gestellt. Um die Polstelle bei x=2 herum müsste sich doch per Cauchyschem Hauptwert ein Integrationsbereich finden lassen, auf dem das Integral gleich 0 ist. Und der Rest ergibt dann den eigentlichen Wert des Integrals. Aber dann ist es natürlich kein Riemann-Integral mehr.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Do 14.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu c) Ist die nicht aufgefallen, dass [mm] \bruch{1}{x^2-4} [/mm] im Punkt x=2 eine Polstelle hat ?
Damit gilt: $ [mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw [/mm] die beiden Integrale $ [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ und $ [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ konvergieren.
Ist auch nur eines der beiden Integrale $ [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ oder $ [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ divergent, so ist $ [mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{1}{x^2-4} dx} [/mm] $ divergent.
FRED
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