Integral Kugelkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mi 25.06.2008 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale, nachdem Sie zu jeweils
angepaßten Koordinaten übergegangen sind:
[mm] \integral_{}^{}\integral_{(B)}^{}\integral_{}^{}{\bruch{dx dy dz}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}}}
[/mm]
mit [mm] B={(x,y,z)|x²+y²+z²\le{1}} [/mm] |
Das Problem soll "natürlich" in Kugelkoordinaten gelöst werden.
Also gilt:
[mm] dxdydz=r^{2}sin\omega
[/mm]
[mm] r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}
[/mm]
...
Anschaulich betrachtet ist der Integrationsbereich eine Kugel mit dem Radius 1.
Die zu integrierende Funktion ist proportional zu 1/r mit dem Mittelpunkt (0|0|2).
Nach der Umformung ergibt sich in Polarkoordinaten das Folgende:
[mm] \integral_{}^{}\integral_{(C)}^{}\integral_{}^{}{\bruch{r^{2}sin\omega dr d\omega d\phi}{\wurzel{r^{2}sin^{2}\omega+(rcos\omega-2)^{2}}}}
[/mm]
Nach Auflösung der binomischen Formel und Ausnutzen, dass [mm] sin^{2}+cos^{2}=1 [/mm] ist gilt
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{\bruch{r^{2}sin\omega dr d\omega d\phi}{\wurzel{r^{2}-4rcos\omega+4}}}
[/mm]
Und genau da geht es dann erstmal nicht weiter. Eine Substitution bietet sich nicht an. Es ist alles gekürzt und die Wurzel im Nenner kriege ich auch nur durch Erweitern mit [mm] 1=\wurzel{...}/\wurzel{...} [/mm] weg. Einfacher wird es damit aber auch nicht.
Kann es sein, dass ich etwas zu weit gekürzt habe und dadurch etwas übersehen habe? Oder lässt sich der Ausdruck unter der Wurzel doch noch einfacher schreiben?
Vielen Dank für jegliche Tipps oder Lösungen.
Gruß,
Magnus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale, nachdem Sie
> zu jeweils
> angepaßten Koordinaten übergegangen sind:
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{(B)}^{}\integral_{}^{}{\bruch{dx dy dz}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}}}[/mm]
>
> mit [mm]B={(x,y,z)|x²+y²+z²\le{1}}[/mm]
> Das Problem soll "natürlich" in Kugelkoordinaten gelöst
> werden.
Wird es nicht einfacher, wenn man Kugelkoordinaten wählt, die
dem Integranden angepasst sind, also:
[mm] r=\wurzel{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}
[/mm]
[mm] x=r*cos(\varphi)*sin(\vartheta)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\varphi)*sin(\vartheta)
[/mm]
[mm] z=2+r*cos(\vartheta)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 25.06.2008 | | Autor: | magir |
Vielen Dank für deine Antwort.
Das macht natürlich Sinn so wie du es sagst. Vermutlich ist genau das die Eigenleistung die hier zu erbringen war, denn das dies zulässig ist hat uns bisher niemand erklärt.
Gilt dann noch immer [mm] dxdydz=r^{2}sin\omega, [/mm] oder muss etwas beachtet werden?
Und was ist mit den Integrationsgrenzen?
Von der Anschaulichkeit her wäre es doch ansonsten ein ganz anderes Problem, dass hier gelöst wird.
Gruß,
Magnus
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Mit der Substitution z-2=u (dz = du)
hätte man einfach das Integral
[mm] \integral\integral\integral\bruch{dx*dy*du}{\wurzel{x^2+y^2+u^2}}
[/mm]
z musste von -1 bis 1 laufen, u=z-2 also von -3 bis -1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 25.06.2008 | | Autor: | magir |
Die Idee der Substitution von z-2=u war mir auch schon gekommen. Aber die Aufgabe soll durch Berechnung in Kugelkoordinaten erfolgen.
Trotzdem hier meine Gedanken zu deiner Vorschlag.
Damit steht dort dann:
[mm] \integral\integral\integral\bruch{dx dy du}{\wurzel{x^2+y^2+u^2}}
[/mm]
Deine Integrationsgrenzen kann ich aber leider nicht nachvollziehen.
Der angegebene Bereich ist:
[mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le1
[/mm]
Das wäre ein Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Damit ist z nicht durch den Bereich von -1 bis 1 gegeben, denn dies ist nur bei x=y=0 der Fall.
Ich kann auch in diese Bereichsgleichung die Substitution einsetzen. Damit steht dort:
[mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+(u+2)^{2}}\le1
[/mm]
Auch an dieser Stelle komme ich dann nicht weiter.
Oder habe ich da was falsch verstanden und die Integration nach z geht doch von -1 bis 1 im ursprünglichen Integral?
Vielen Dank für deine Bemühungen.
Grüße,
Magnus
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> Die Idee der Substitution von z-2=u war mir auch schon
> gekommen. Aber die Aufgabe soll durch Berechnung in
> Kugelkoordinaten erfolgen.
> Trotzdem hier meine Gedanken zu deiner Vorschlag.
>
> Damit steht dort dann:
> [mm]\integral\integral\integral\bruch{dx dy du}{\wurzel{x^2+y^2+u^2}}[/mm]
>
> Deine Integrationsgrenzen kann ich aber leider nicht
> nachvollziehen.
> Der angegebene Bereich ist:
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le1[/mm]
> Das wäre ein Kreis ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
eine Kugel ! (Vollkugel)
> mit dem Radius 1 um den Ursprung. Damit
> ist z nicht durch den Bereich von -1 bis 1 gegeben, denn
> dies ist nur bei x=y=0 der Fall.
> Ich kann auch in diese Bereichsgleichung die Substitution
> einsetzen. Damit steht dort:
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}+(u+2)^{2}}\le1[/mm]
> Auch an dieser Stelle komme ich dann nicht weiter.
>
> Oder habe ich da was falsch verstanden und die Integration
> nach z geht doch von -1 bis 1 im ursprünglichen Integral?
>
> Vielen Dank für deine Bemühungen.
> Grüße,
> Magnus
>
Hallo Magnus,
ich war zwischendurch nicht mehr sicher, welchen Weg du nun
einschlagen wolltest. Mit der Substitution u=z-2 hast du den
einfacheren Integranden [mm] 1/r=1/\wurzel{x^2+y^2+u^2} [/mm] , dafür ist
der Integrationsbereich (im x-y-u-Koordinatensystem) die Kugel
mit dem Mittelpunkt M(x=0,y=0,u=-2).
Mittlerweile bin ich aber auch der Ansicht, dass dieser Weg
nicht einfacher ist als der andere, also direkt mit den Kugel-
Koordinaten...
rainerS hat ja schon gemerkt, dass das Integral, das man dort erhält
durchaus zu bewältigen ist.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 25.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale, nachdem Sie
> zu jeweils
> angepaßten Koordinaten übergegangen sind:
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{(B)}^{}\integral_{}^{}{\bruch{dx dy dz}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}}}[/mm]
>
> mit [mm]B={(x,y,z)|x²+y²+z²\le{1}}[/mm]
> Das Problem soll "natürlich" in Kugelkoordinaten gelöst
> werden.
>
> Also gilt:
> [mm]dxdydz=r^{2}sin\omega[/mm]
> [mm]r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}[/mm]
> ...
>
> Anschaulich betrachtet ist der Integrationsbereich eine
> Kugel mit dem Radius 1.
> Die zu integrierende Funktion ist proportional zu 1/r mit
> dem Mittelpunkt (0|0|2).
>
> Nach der Umformung ergibt sich in Polarkoordinaten das
> Folgende:
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{(C)}^{}\integral_{}^{}{\bruch{r^{2}sin\omega dr d\omega d\phi}{\wurzel{r^{2}sin^{2}\omega+(rcos\omega-2)^{2}}}}[/mm]
>
> Nach Auflösung der binomischen Formel und Ausnutzen, dass
> [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm] ist gilt
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{\bruch{r^{2}sin\omega dr d\omega d\phi}{\wurzel{r^{2}-4rcos\omega+4}}}[/mm]
>
> Und genau da geht es dann erstmal nicht weiter. Eine
> Substitution bietet sich nicht an.
Ganz im Gegenteil: die Substitution [mm] $t=\cos\omega$ [/mm] führt auf das recht einfache Integral
[mm] \integral_{-1}^{+1} \bruch{dt}{\wurzel{r^2-4rt+4}} [/mm]
(Das Integral über [mm] $\phi$ [/mm] ergibt, da der Integrand nicht von [mm] $\phi$ [/mm] abhängt, einfach einen Faktor [mm] $2\pi$.)
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mi 25.06.2008 | | Autor: | magir |
Und wohin ist das [mm] sin\omega [/mm] aus dem Zähler verschwunden?
(Werde das Ganze morgen mit klarem Kopf nochmal versuchen.)
Danke für die Anregung,
Magnus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 26.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Und wohin ist das [mm]sin\omega[/mm] aus dem Zähler verschwunden?
Das verschwindet, weil du ja durch [mm] $\frac{dt}{d\omega} [/mm] = [mm] -\sin\omega$ [/mm] dividieren musst: $dt = [mm] -\sin\omega\, d\omega$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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