Integral Nenner ^3 < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 16.01.2006 | | Autor: | elko |
Hi 2 all
habe angefangen das folgende integral zu lösen
I= [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{2}{(x^2-x+1)^3} [/mm] dx}
Dabei habe ich die 2 vorgezogen und danach den Nenner mit [mm] \bruch{1}{4} -\bruch{1}{4} [/mm] erweitert
2* [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{(x^2-x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}+1)^3} [/mm] dx}
so das ich nun 2* [mm] \integral_ [/mm] { [mm] \bruch{1}{ ( ( \bruch{2x-1}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{3}}{2})^2)^3} [/mm] dx}
erhalte, nun frage ich mich wie ich die [mm] ()^3 [/mm] auflösen kann?
Danke im voraus Daniel
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Hallo elko,
> Hi 2 all
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> habe angefangen das folgende integral zu lösen
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> I= [mm]\integral_[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{2}{(x^2-x+1)^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
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> Dabei habe ich die 2 vorgezogen und danach den Nenner mit
> [mm]\bruch{1}{4} -\bruch{1}{4}[/mm] erweitert
>
> 2* [mm]\integral_[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]\bruch{1}{(x^2-x+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}+1)^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dx}
>
> so das ich nun 2* [mm]\integral_[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\bruch{1}{ ( ( \bruch{2x-1}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{3}}{2})^2)^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> dx}
>
> erhalte, nun frage ich mich wie ich die [mm]()^3[/mm] auflösen
> kann?
Das musste wohl so stehen lassen. Integrieren kann man das aber trotzdem.
Verwende hier die Substition
[mm]
\frac{{2\;x\; - \;1}}
{2}\; = \;\frac{{\sqrt 3 }}
{2}\;\tan \;t[/mm]
Dann erhältst Du ein Integral der Bauart
[mm]
\int {R\left( {\sin \;t,\;\cos \;t,\;\tan \;t,\;\cot \;t} \right)\;dt} [/mm]
,wobei R ein rationaler Term der vier trigonometischen Funktion ist.
Durch Anwendung der Substitution
[mm]
\begin{gathered}
\tan \;\frac{t}
{2}\; = \;u \hfill \\
\Rightarrow \;dt\; = \;\frac{2}
{{1\; + \;u^2 }}\;du \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
erhältst Du
[mm]
\int {R\left( {\frac{{2\;u}}
{{1\; + \;u^2 }},\;\frac{{1\; - \;u^2 }}
{{1\; + \;u^2 }},\;\frac{{2\;u}}
{{1\; - \;u^2 }},\;\frac{{1\; - \;u^2 }}
{{2\;u}}} \right)\;\frac{2}
{{1\; + \;u^2 }}\;du} [/mm]
Auf den Integranden kannst Du dann die Partialbruchzerlegung anwenden und somit leichter integrieren.
Gruß
MathePower
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> Danke im voraus Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 17.01.2006 | | Autor: | elko |
Hmm Gibt es da auf irgendeiner Seite ne kleine erklärung zu diesesn R Integralen bzw wie die schritte da nach einander ablaufen?
Wie geht das denn mit 2 Substitutionen nach einander?
Mhh
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Hallo elko,
> Hmm Gibt es da auf irgendeiner Seite ne kleine erklärung zu
> diesesn R Integralen bzw wie die schritte da nach einander
> ablaufen
Diese Substitution habe ich aus einem Buch entnommen.
("Mathematische Formeln", Buch und Zeit Verlag)
>
>
> Wie geht das denn mit 2 Substitutionen nach einander?
Die Substitutionen werden nacheinander angewendet.
Ist Dir das zuviel Rechnerei, kannst Du auch eine Formel anwenden.
Diese Formel steht in jeder guten Formelsammlung. Die Formel kann aber auch selber hergeleitet werden.
Gruss
MathePower
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