Integral / Polarkoordinaten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 26.01.2005 | | Autor: | michl23 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich habe folgendes problem
[mm] \integral_{\wurzel{2}/2}^{1}{} (\integral_{\wurzel{1-x^{2}}}^{x} [/mm] {1/( [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}} )^3 [/mm] dy)dx}
dieses integral soll ich mit Hilfe von Polarkoordinaten berechnen.
Mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiss wo ich die Substitution ansetzen soll bzw. wie ich die Integrationsgrenzen in Polarkoordinaten umwandeln kann.
danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber michl23
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi,
> ich habe folgendes problem
>
> [mm]\integral_{\wurzel{2}/2}^{1}(\integral_{\wurzel{1-x^{2}}}^{x}[/mm]
> 1/( [mm]\wurzel{x^{2} + y^{2}} )^3[/mm] dy)dx
>
> dieses integral soll ich mit Hilfe von Polarkoordinaten
> berechnen.
Die Transformation selber kennst du aber, ja?
Dann gilt ja, dass
[mm] $x:=r*\cos{\varphi}$
[/mm]
[mm] $y:=r*\sin{\varphi}$
[/mm]
$dx dy:=r*dr [mm] d\varphi$
[/mm]
Dann sieht das wohl so aus:
[mm] $\int \int \bruch{1}{r^2} [/mm] dr [mm] d\varphi$
[/mm]
Dein Problem ist nur, die Grenzen richtig zu finden. Das ist aber ganz einfach.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dein Integrationsbereich ist ja die eingefärbte Fläche. An der kannst du gut ablesen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] einfach von $0_$ bis [mm] $\bruch{\pi}{4}$ [/mm] laufen muss, und $r_$ (siehe den Teil der grünen Geraden, der im Bereich liegt) von $1_$ bis [mm] $\bruch{1}{\cos{\varphi}}$, [/mm] damit der ganze Bereich abgedeckt wird.
Damit lautet dein Integral wohl:
[mm] $\int_{0}^{\bruch{\pi}{4}} \int_{1}^{\bruch{1}{\cos{\varphi}}} \bruch{1}{r^2} [/mm] dr [mm] d\varphi$ [/mm] 
Mit lieben Grüssen
Paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mi 26.01.2005 | | Autor: | michl23 |
danke Paul für die nette begrüssung und die schnelle antwort, ich habs verstanden, aber ohne skizze ist man wohl so ziehmlich aufgeschmissen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo michl23
> danke Paul für die nette begrüssung und die schnelle
> antwort, ich habs verstanden, aber ohne skizze ist man wohl
Das freut mich.
> so ziehmlich aufgeschmissen?
>
Nun, ich denke, eine Skizze kann jedenfalls nicht schaden! Vermutlich kann man schon theooretisch eruieren, wie sich die Integrationsgrenzen allgemein transferieren lassen. Die Transformation muss ja bijektiv sein, womit sich auch der Bereich in eindeutiger Weise vor- und rückwärts transformieren lässt. Ich denke aber, dazu müsstest du eher in Skripten und im Internet resp. in Fachbüchern suchen, um darauf eine korrekte Antwort zu erhalten.
Mit lieben Grüssen
Paul
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