Integral Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 23.06.2009 | | Autor: | Sebescen |
| Aufgabe | Man nehme an, es gibt eine differenzierbare Abbildung f:I->R mit f(1)=0, so dass f'(x)=1/x xI. Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig.
Man zeige: Für alle a,bI gilt
[mm] \integral_{a}^{b}{f=bf(b)-af(a)-b+a} [/mm] |
Wie zeige ich das?
Aus der Form des Integrals bf(b)-af(a)-b+a kann man wohl eine Form der Stammfunktion erraten?
Aber f'(x)=1/x kann ich ja nicht "aufleiten", da es keine Stammfunktion von 1/x gibt. Bzw. log x ist die Stammfunktion, aber dass haben wir noch nicht behandelt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Man nehme an, es gibt eine differenzierbare Abbildung
> f:I->R mit f(1)=0, so dass f'(x)=1/x x€I. Da f
> differenzierbar ist, ist f auch stetig.
> Man zeige: Für alle a,b€I gilt
> [mm]\integral_{a}^{b}{f=bf(b)-af(a)-b+a}[/mm]
> Wie zeige ich das?
> Aus der Form des Integrals bf(b)-af(a)-b+a kann man wohl
> eine Form der Stammfunktion erraten?
> Aber f'(x)=1/x kann ich ja nicht "aufleiten", da es keine
> Stammfunktion von 1/x gibt. Bzw. log x ist die
> Stammfunktion, aber dass haben wir noch nicht behandelt.
Hallo,
ich habe da so eine oberflächliche Vermutung, im Moment aber keinen Antrieb, es selbst auszuprobieren.
Es ist doch [mm] \integral_{a}^{b}f(x)dx= \integral_{1}^{b}f(x)dx- \integral_{1}^{a}f(x)dx.
[/mm]
Vielleicht lässt sich so die Voraussetzung f(1)=0 gewinnbringend anwenden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Di 23.06.2009 | | Autor: | Sebescen |
Soll mir ein geeignetes F(x) definieren (durch Ausprobieren), welches eben F'(x)=f(x) ergibt, ist ja soweit klar. Und damit dann das Integral ausrechnen.
Hab aber echt gerade keinen PLan wie F(x) aussehen kann/soll?
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Hi!
Denk mal scharf über den Tipp von Abakus nach. Es ist doch
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{b}{f(x) dx}[/mm]
Da die Funktion $f$ als differnzierbar angenommen wird mit Ableitung [mm]f'(x)=\frac{1}{x}[/mm] kannst du die beiden hinteren Terme einzeln partiell integrieren:
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{b}{f(x) dx}[/mm]
[mm]=\integral_{a}^{1}{1\cdot f(x) dx}+\integral_{1}^{b}{1 \cdot f(x) dx}[/mm]
[mm]=[xf(x)]_a^1-\integral_{a}^{1}{xf'(x) dx} + [xf(x)]_1^b - \integral_{1}^{b}{xf'(x) dx}[/mm]
[mm]=-af(a)-\integral_{a}^{1}{1dx}+bf(b)\integral_{1}^{b}{1 dx}
=-af(a)-1+a+bf(b)-b+1=bf(b)-af(a)+a-b[/mm]
Gruß
Deuterinomium
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