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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 30.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien E und P die folgenden Flächen im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ :
E:= [mm] \{ (x,y,z)\in \IR^3|z=2x+2y-1 \} [/mm] ;
P:= [mm] \{ (x,y,z)\in \IR^3|z=x^2+y^2 \} [/mm] .
Wir definieren eine Kurve $ [mm] \gamma [/mm] $ in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ als $ [mm] \gamma [/mm] $ := E $ [mm] \cap [/mm] $ P.
Berechne $ [mm] \integral_{\gamma}^{}{z dx + x dy + y dz} [/mm] $
a) direkt
b) mit Hilfe des Satzes von Stokes, angewandt auf die beschränkte Teilmenge von E
berandet von $ [mm] \gamma [/mm] $ |
E ist eine Ebene mit normalvektor: (-2,-2,1)
Illustration in x-z Ebene:
P ist eine nach oben geöffnete Parabel mit scheitelpunkt (0,0)
E ist eine Gerade mit Steigung 2.
Der Schnittpunkt ist bei (1,1)
Warum ist da nur sien scnittpunkt? Müsste die ebene nicht auch wieder rausgehen aus dem Paraboloid??
Schneiden voN E und P
2x +2y -1 = [mm] x^2 +y^2
[/mm]
<=> -1 = [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm] -8
<=> 7 = [mm] (x-2)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2
[/mm]
Kreis mit Radius [mm] \sqrt{7} [/mm] und Mittelpunkt (2,2)
1)
Parameterisierung der SChnittkurve
x= 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi
[/mm]
y= 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi
[/mm]
z = 2(2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi) [/mm] + 2*(2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi) [/mm] -1 = 7 + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi
[/mm]
wobei [mm] \phi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
-> [mm] \int_{\gamma} [/mm] z dx + x dy + y dz = [mm] \int_0^{2\pi} [/mm] 7 + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi [/mm] d (2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi) [/mm] + 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] d(2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi) [/mm] + 2 + [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi [/mm] d( 7 + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] cos [mm] \phi [/mm] + 2 [mm] \sqrt{7} [/mm] sin [mm] \phi)
[/mm]
was das zu berechnen wäre^^
2) Parameterisieren die beschränkte Teilmenge von E
berandet von $ [mm] \gamma [/mm] $
[mm] \phi(u,v)= \vektor{u+2 \\ v+2 \\2*(u+2)+2*(v+2)-1}
[/mm]
- [mm] \sqrt{7} [/mm] <= u <= [mm] \sqrt{7}
[/mm]
- [mm] \sqrt{\sqrt{7} - u^2} \le [/mm] v [mm] \le \sqrt{\sqrt{7} - u^2}
[/mm]
Ich glaub was ich da versuche zu parameterisieren ist die von [mm] \gamma [/mm] und P eingeschlossene Fläche und nicht von E?
Was heißt uberhaupt von einer ebene und eine Kurve die Schnittfläche=? Kann es sein das man P statt E meint?
Bitte um Korrektur!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 30.01.2013 | | Autor: | sissile |
Oder ist hier die erste Methode eher ala Kurvenintegral
[mm] \int_\gamma [/mm] F.ds = [mm] \int F(\Phi(\phi)). \Phi' (\phi) [/mm] d [mm] \phi
[/mm]
Parameterisierung war:
x= 2 + $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ cos $ [mm] \phi [/mm] $
y= 2 + $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ sin $ [mm] \phi [/mm] $
z = 7 + 2 $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ cos $ [mm] \phi [/mm] $ + 2 $ [mm] \sqrt{7} [/mm] $ sin $ [mm] \phi [/mm] $
wobei $ [mm] \phi \in [/mm] $ [0, 2 $ [mm] \pi] [/mm] $
[mm] \Phi (\phi) [/mm] = [mm] \vektor{2 + \sqrt{7} cos \phi \\ 2 + \sqrt{7}sin\phi \\ 7 + 2 \sqrt{7} cos \phi + 2 \sqrt{7}sin \phi}
[/mm]
[mm] \Phi [/mm] ' [mm] (\phi) [/mm] = [mm] \vektor{- \sqrt{7} sin \phi \\ \sqrt{7} cos \phi \\ -2 \sqrt{7} sin \phi + 2 \sqrt{7} cos \phi}
[/mm]
Was ist aber dann das Kraftfeld F?
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Hallo sissile,
> Oder ist hier die erste Methode eher ala Kurvenintegral
> [mm]\int_\gamma[/mm] F.ds = [mm]\int F(\Phi(\phi)). \Phi' (\phi)[/mm] d
> [mm]\phi[/mm]
>
>
> Parameterisierung war:
> x= 2 + [mm]\sqrt{7}[/mm] cos [mm]\phi[/mm]
> y= 2 + [mm]\sqrt{7}[/mm] sin [mm]\phi[/mm]
> z = 7 + 2 [mm]\sqrt{7}[/mm] cos [mm]\phi[/mm] + 2 [mm]\sqrt{7}[/mm] sin [mm]\phi[/mm]
> wobei [mm]\phi \in[/mm] [0, 2 [mm]\pi][/mm]
>
> [mm]\Phi (\phi)[/mm] = [mm]\vektor{2 + \sqrt{7} cos \phi \\ 2 + \sqrt{7}sin\phi \\ 7 + 2 \sqrt{7} cos \phi + 2 \sqrt{7}sin \phi}[/mm]
>
Diese Parametrisierung stimmt nicht.
>
> [mm]\Phi[/mm] ' [mm](\phi)[/mm] = [mm]\vektor{- \sqrt{7} sin \phi \\ \sqrt{7} cos \phi \\ -2 \sqrt{7} sin \phi + 2 \sqrt{7} cos \phi}[/mm]
>
> Was ist aber dann das Kraftfeld F?
Zu Berechnen ist doch [mm] \integral_{\gamma}^{}{z dx + x dy + y dz} [/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo sissile,
> Seien E und P die folgenden Flächen im [mm]\IR^3[/mm] :
>
> E:= [mm]\{ (x,y,z)\in \IR^3|z=2x+2y-1 \}[/mm] ;
> P:= [mm]\{ (x,y,z)\in \IR^3|z=x^2+y^2 \}[/mm] .
>
> Wir definieren eine Kurve [mm]\gamma[/mm] in [mm]\IR^3[/mm] als [mm]\gamma[/mm] := E
> [mm]\cap[/mm] P.
>
> Berechne [mm]\integral_{\gamma}^{}{z dx + x dy + y dz}[/mm]
>
> a) direkt
>
> b) mit Hilfe des Satzes von Stokes, angewandt auf die
> beschränkte Teilmenge von E
> berandet von [mm]\gamma[/mm]
>
> E ist eine Ebene mit normalvektor: (-2,-2,1)
>
> Illustration in x-z Ebene:
> P ist eine nach oben geöffnete Parabel mit scheitelpunkt
> (0,0)
> E ist eine Gerade mit Steigung 2.
> Der Schnittpunkt ist bei (1,1)
> Warum ist da nur sien scnittpunkt? Müsste die ebene nicht
> auch wieder rausgehen aus dem Paraboloid??
>
> Schneiden voN E und P
> 2x +2y -1 = [mm]x^2 +y^2[/mm]
> <=> -1 = [mm](x-\red{2})^2[/mm] + [mm](y-\red{2})^2[/mm] -8
Das solltest du dir aber noch einmal ganz genau anschauen.
> <=> 7 = [mm](x-2)^2[/mm] + [mm](y-2)^2[/mm]
> Kreis mit Radius [mm]\sqrt{7}[/mm] und Mittelpunkt (2,2)
Außerdem ist das Kurveintegral in der Tat so definiert, wie bei dir in der Anhangsfrage aufgeschrieben.
Parametrisierung mit [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] ist ok, aber obiges stimmt eben schon nicht, daher einfach noch einmal starten.
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