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Hallo,
habe soeben das Integral für die Parabel x² für die Obersumme aufgestellt und bin auf [mm] \bruch{5}{3}³ [/mm] gekommen, für das Intervall [0;5].
Da wir heute erst damit begonnen haben, weiß ich nicht genau, wie ich die Herleitung für die Untersumme nun aufstellen soll und würde mich über Hilfe sehr freuen.
LG
Informacao
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> Hallo,
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> habe soeben das Integral für die Parabel x² für die
> Obersumme aufgestellt und bin auf [mm]\bruch{5}{3}³[/mm]
gekommen,
> für das Intervall [0;5].
Müsste [mm] $\frac{\red{5^3}}{3}$ [/mm] sein (der Exponent $3$ befindet sich bei Deinem Ergebnis für den Grenzwert der Obersummen am falschen Ort).
> Da wir heute erst damit begonnen haben, weiß ich nicht
> genau, wie ich die Herleitung für die Untersumme nun
> aufstellen soll und würde mich über Hilfe sehr freuen.
Also Du unterteilst das Intervall $[0;5]$ in $n$ Intervalle [mm] $\left[(k-1)\tfrac{5}{n};k\tfrac{5}{n}\right]$ [/mm] (wobei [mm] $k=1,2,\ldots, [/mm] n$). Da [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] im Intervall $[0;5]$ streng monoton wachsend ist, nimmt $f(x)$ im $k$-ten Intervall an der Stellle [mm] $(k-1)\tfrac{5}{n}$ [/mm] den kleinsten Wert an. Klammert man die allen Teilrechtecken der Untersumme [mm] $U_n$ [/mm] gemeinsame Breite [mm] $\tfrac{5}{n}$ [/mm] aus, so erhält man (als Summe aller Flächeninhalte der unter dem Graphen liegenden Rechtecke der Untersumme):
[mm]U_n := \tfrac{5}{n}\left[\left(0\tfrac{5}{n}\right)^2+\left(1\tfrac{5}{n}\right)^2+\left(2\tfrac{5}{n}\right)^2+\cdots +\left((n-1)\tfrac{5}{n}\right)^2\right][/mm]
Wegen [mm] $\left((k-1)\tfrac{5}{n}\right)^2=(k-1)^2\cdot \tfrac{5^2}{n^2}$ [/mm] kann man den allen Summanden gemeinsamen Faktor [mm] $\tfrac{5^2}{n^2}$ [/mm] vor die Klammer ziehen und erhält:
[mm]U_n := \tfrac{5^3}{n^3}\left[0^2+1^1+2^2+\cdots+(n-1)^2\right][/mm]
Das verbleibende Problem ist für die Summe der Quadrate in der eckigen Klammer einen geschlossenen Ausdruck zu bestimmen und dann [mm] $n\rightarrow +\infty$ [/mm] gehen zu lassen. Da Du die Obersumme bereits bestimmt hast, gehe ich davon aus, dass Du weisst, wie Du diese Summe in Abhängigkeit von $n$ berechnen kannst.
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Hallo,
nein, ich verstehe das nicht. Es wird noch komplizierter so..
Ich habe das, was ich über die Obersumme gemacht habe, mal eingescannt. Dazu analog sollen wir auch die Untersumme berechnen, aber mir fehlt ganz der Ansatz..
[Dateianhang nicht öffentlich]
Tut mir leid, bekomme das nicht kleiner..
LG Informacao
Dauert noch, kriege das Bild nicht hoch...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> nein, ich verstehe das nicht. Es wird noch komplizierter
> so..
> Ich habe das, was ich über die Obersumme gemacht habe, mal
> eingescannt.
Falls Du dies tatsächlich selbst gemacht hast (und nicht etwa nur irgendwo abgeschrieben), dann kann Dir meine Antwort kein Rätsel sein: denn meine Erläuterung des Vorgehens beim Berechnen der Untersumme [mm] $U_n$ [/mm] ist ganz analog zu dem, was Du hier geschrieben / eingescannt hast.
> Dazu analog sollen wir auch die Untersumme
> berechnen, aber mir fehlt ganz der Ansatz..
Ich verstehe Dein Problem beim Verständnis meiner letzten Antwort überhaupt nicht: mein Ansatz für die $n$-te Untersumme unterscheidet sich lediglich in unerheblichen Details von Deinem Ansatz für die Obersummen. Der einzige relevante Unterschied ist doch, dass Du nicht
[mm]\overline{S}_n=\left(\tfrac{5}{n}\right)^3\left[\red{1}^2+2^2+3^2+\cdots +\red{n}^2\right][/mm]
sondern
[mm]\underline{S}_n=\left(\tfrac{5}{n}\right)^3\left[\red{0^2}+1^2+2^2+\cdots +\red{(n-1)}^2\right][/mm]
hast. [mm] $0^2$ [/mm] kannst Du gleich weglassen und dann die Summenformel für die ersten $(n-1)$ Quadrate natürlicher Zahlen verwenden (genau so, wie Du dies bei den Obersummen gemacht hast). Die Überlegung bei der Bestimmung des Grenzwertes ist bei den Untersummen völlig analog zu derjenigen der Obersummen.
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Nein, ich kann das analog nicht aufstellen... weil ich den Unterschied nicht verstehe und dein von dir verwendetes k hat mich verwirrt.. Wie komme ich denn auf den ersten Schritt?
Den, den du mir da hingeschrieben hast, ist ja ein Schritt, der ca. in der Mitte vorkommt.. aber bis dahin muss ich ja erstmal kommen.
LG
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 11.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was dir somebody aufgeschrieben hat [mm] U_n [/mm] ist doch genau wie deine obersumme.
der einzige Unterschied zur Obersumme ist doch ,dass man immer den unteren Funktionswert nimmt, deshalb fängt es nicht mit [mm] (5/n)^2 [/mm] an, sondern mit [mm] 0^2 [/mm] und es hört nicht mit [mm] (n*5/n)^2 [/mm] auf auf, sondern mit [mm] ((n-1)*5/n)^2 [/mm] aus. nach dem Ausklammern hast du dann [mm] :(0+1^2+2^2+----+(n-1)^2
[/mm]
du kennst die Summe, wenn sie bis [mm] n^1 [/mm] geht, davon kannst du einfach [mm] n^2 [/mm] abziehen, dann hast du die bis n, oder du setzt in der Formel für n überall n-1 ein!
Der Grenzwert muss wieder [mm] 5^3/3 [/mm] sein.
Gruss leduart
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