Integral, Wurzel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Man berechne die Länge des Parabelbogens [mm] y=x^2 [/mm] zwischen den Punkten (-1,1) und (2,4) |
Hallo,
[mm] \gamma [/mm] : I -> [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] \gamma(x)=(x,f(x))=(x,x^2)
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ' (x)= (1, 2x)
[mm] \int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2} [/mm] dx
Frage 1: Was nützen mir die y-werte der Punkte?
Frage 2 :Gibt es für die Wurzel eine Formel die mit nicht geläufig ist oder geht das durch partielle Integration oder Substitution.
Bei SUbstitution wüsste ich nicht was ich substituieren sollte..?
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Hallo Lu-,
> Man berechne die Länge des Parabelbogens [mm]y=x^2[/mm] zwischen
> den Punkten (-1,1) und (2,4)
>
> Hallo,
> [mm]\gamma[/mm] : I -> [mm]\IR^2[/mm]
> [mm]\gamma(x)=(x,f(x))=(x,x^2)[/mm]
> [mm]\gamma[/mm] ' (x)= (1, 2x)
>
> [mm]\int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2}[/mm] dx
> Frage 1: Was nützen mir die y-werte der Punkte?
Für die Integratio nix, du integrierst ja zwischen den x-Werten ...
> Frage 2 :Gibt es für die Wurzel eine Formel die mit nicht
> geläufig ist oder geht das durch partielle Integration
> oder Substitution.
> Bei SUbstitution wüsste ich nicht was ich substituieren
> sollte..?
Substitution scheint mir hier das Mittel zu sein mit anschließender partieller Integration.
Nutze, dass [mm]\cosh^2(u)-\sinh^2(u)=1[/mm], also [mm]\cosh^2(u)=\sinh^2(u)+1[/mm]
Substituiere also [mm]2x=\sinh(u)[/mm], also [mm]x=\frac{\sinh(u)}{2}[/mm] und [mm] $4x^2=\sinh^2(u)$
[/mm]
Das entstehende Integral lässt sich schnell mit partieller Integration lösen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
[mm] \int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2} [/mm] dx
x = sinh(u) / 2
dx = cosh(u)/2 du
Ich gehe über zum unbestimmen Integral
[mm] =\int \sqrt{1+ sinh(u)^2} [/mm] cosh (u)/2 du
= 1/2 [mm] \int (cosh(u))^2 [/mm] = 1/2 *( [mm] sinh(u)*cosh(u)-\int [/mm] sinh(u) sinh(u) du ) = 1/2 ( sinh(u) cosh(u - [mm] \int (cosh^2(u)-1) [/mm] du)
<=> 1/2 [mm] \int (cosh(u))^2 [/mm] =1/2 ( sinh(u) cosh(u) - [mm] \int (cosh^2(u) [/mm] -1) du)
[mm] <=>\int (cosh(u))^2 [/mm] = 1/2 ( sinh(u) cosh(u )- [mm] \int [/mm] (-1) du)
<=>1/2 [mm] \int (cosh(u))^2 [/mm] = 1/4 ( sinh(u) cosh(u) +u ) + C
Soll ich nun resubstituieren
= 1/4 ( sinh(arccosh(2x)) cosh(arccosh(2x) ) +arccosh(2x) ) + C
Ich bin da noch etwas verwirrt..
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Hallo Lu-,
> [mm]\int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2}[/mm] dx
> x = sinh(u) / 2
> dx = cosh(u)/2 du
>
> Ich gehe über zum unbestimmen Integral
> [mm]=\int \sqrt{1+ sinh(u)^2}[/mm] cosh (u)/2 du
> = 1/2 [mm]\int (cosh(u))^2[/mm] = 1/2 *( [mm]sinh(u)*cosh(u)-\int[/mm]
> sinh(u) sinh(u) du ) = 1/2 ( sinh(u) cosh(u - [mm]\int (cosh^2(u)-1)[/mm]
> du)
>
> <=> 1/2 [mm]\int (cosh(u))^2[/mm] =1/2 ( sinh(u) cosh(u) - [mm]\int (cosh^2(u)[/mm]
> -1) du)
> [mm]<=>\int (cosh(u))^2[/mm] = 1/2 ( sinh(u) cosh(u )- [mm]\int[/mm] (-1)
> du)
> <=>1/2 [mm]\int (cosh(u))^2[/mm] = 1/4 ( sinh(u) cosh(u) +u ) + C
>
> Soll ich nun resubstituieren
> = 1/4 ( sinh(arccosh(2x)) cosh(arccosh(2x) ) +arccosh(2x)
> ) + C
Es muss doch hier stehen:
[mm]= 1/4 ( sinh(ar\red{sin}h(2x)) cosh(ar\red{sin}h(2x) ) +ar\red{sin}h(2x) ) + C[/mm]
> Ich bin da noch etwas verwirrt..
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,Ja danke.
> $ = 1/4 ( [mm] sinh(ar\red{sin}h(2x)) cosh(ar\red{sin}h(2x) [/mm] ) [mm] +ar\red{sin}h(2x) [/mm] ) + C $
[mm] \int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2} [/mm] = 1/4 * (2x cosh(arsinh(2x))+arcsin(2x)) [mm] |^{2}_{-1} [/mm] = cosh (arsinh(4)) +1/4 arsin(4) + 1/2 cosh(arsinh(-2)) + 1/4 arsin(-2)
Wie rechne ich das nun aus?
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Hallo Lu-,
> Hallo,Ja danke.
> > [mm]= 1/4 ( sinh(ar\red{sin}h(2x)) cosh(ar\red{sin}h(2x) ) +ar\red{sin}h(2x) ) + C[/mm]
>
> [mm]\int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2}[/mm] = 1/4 * (2x
> cosh(arsinh(2x))+arcsin(2x)) [mm]|^{2}_{-1}[/mm] = cosh (arsinh(4))
> +1/4 arsin(4) + 1/2 cosh(arsinh(-2)) + 1/4 arsin(-2)
>
Das muss hier so lauten:
[mm]\int_{-1}^2 \sqrt{1+4x^2} \ dx
= 1/4 * (2x \cosh(arsinh(2x))+arsinh(2x)) |^{2}_{-1}[/mm]
Hier kannst Du noch etwas umformen:
[mm]\cosh(arsinh(2x))=\wurzel{1+\left(2x\right)^{2}}=\wurzel{1+4x^{2}}[/mm]
[mm] = \cosh (arsinh(4)) +1/4 arsinh(4) \blue{-} \left(1/2 \cosh(arsinh(-2)) + 1/4 arsinh(-2)\right)[/mm]
> Wie rechne ich das nun aus?
Wenn Du einen Zahlenwert haben willst,
dann geht das wohl nur über den TR.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Wenn der TR sinh und cosh hätte ^^...
Bei wolfram kann ich den Arcus nicht eintippen..
Weißt du wie das funktioniert?
LG
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Hallo Lu-,
> Wenn der TR sinh und cosh hätte ^^...
>
Vielleicht hat dann der Tasten die Tasten "hyp", "sin" und "cos".
> Bei wolfram kann ich den Arcus nicht eintippen..
> Weißt du wie das funktioniert?
Bei Hyperbelfunktionen heißen die Umkehrfunktionen Areafunktionen.
Siehe dazu:![[]](/images/popup.gif) hier
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, noch eine Frage:
Nun der Wert ist ca : 3.8896586
Kann man die Richtigkeit irgendwie nachprüfen?
Da mich verwundert, dass die direkte Verbingungsstrecke der beiden Punkt länger ist..
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Hallo Lu-,
> Hallo, noch eine Frage:
> Nun der Wert ist ca : 3.8896586
> Kann man die Richtigkeit irgendwie nachprüfen?
Kontrolliere nochmals Deine Auswertung.
> Da mich verwundert, dass die direkte Verbingungsstrecke
> der beiden Punkt länger ist..
Der richtige Wert ist über 6.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Man bestimme den Krümmungskreis an die Parabel aus dem vorigen Bsp am Punkt (2,4) |
Jap habe ich nun auch.
Ich habe dazu noch eine zweite Übung.
Ich dachte, ich berechne die Paramaterdarstellung mit Bogenlänge als Parameter, dann die zweite Ableitung, Länge davon und erhalte dann die Krümmung. Denn der Krümmungskreisbogen mit Radius K:= 1/r ist so defeniert.
Stimmt das vorgehen?
Ich hab Probleme bei der Parameterdarstellung mit Bogenlänge als Parameter
s = [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \int_0^t ||\gamma [/mm] ' (x) || dx = [mm] 1/4*(2t*\sqrt{1+4t^2} [/mm] +arsinh(2t))
Nun muss ich doch auf t umformen.Aber das ist doch irsinnig schwer bei dem Term?ich weiß nicht wie ich das beim arsinh z.B machen kann...
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Hallo Lu-,
> Man bestimme den Krümmungskreis an die Parabel aus dem
> vorigen Bsp am Punkt (2,4)
> Jap habe ich nun auch.
> Ich habe dazu noch eine zweite Übung.
>
> Ich dachte, ich berechne die Paramaterdarstellung mit
> Bogenlänge als Parameter, dann die zweite Ableitung,
> Länge davon und erhalte dann die Krümmung. Denn der
> Krümmungskreisbogen mit Radius K:= 1/r ist so defeniert.
> Stimmt das vorgehen?
>
Benutze doch die Formel für den Krümmungsradius
eine Funktionsgraphen.
> Ich hab Probleme bei der Parameterdarstellung mit
> Bogenlänge als Parameter
> s = [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\int_0^t ||\gamma[/mm] ' (x) || dx =
> [mm]1/4*(2t*\sqrt{1+4t^2}[/mm] +arsinh(2t))
>
> Nun muss ich doch auf t umformen.Aber das ist doch irsinnig
> schwer bei dem Term?ich weiß nicht wie ich das beim arsinh
> z.B machen kann...
Eine Auflösung nach t gelingt auch nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Okay dann muss ich die formel wahrscheinlich vorher herleiten!!
Wir hatten nur wie man es aus der Paramterarstellung der Bogenlänge ausrechnet.
Was wir in der Vorlesung darüber besprochen hatten:
Wenn [mm] \sigma(s_0) [/mm] der Punkt in [mm] \IR^2 [/mm] ist um den ich den Krümmungskreis legen will ist. Und die Krümmung eines Kreisbogens mit Radius r : K:=1/r
dann ist [mm] \frac{1}{|r|} [/mm] = [mm] |K_0| [/mm] = || [mm] \sigma [/mm] '' [mm] (s_o) [/mm] ||
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Hallo Lu-,
> Hallo,
>
> Okay dann muss ich die formel wahrscheinlich vorher
> herleiten!!
> 1)
> Wie berecnet man die Krümmung einer regulären Kure in
> [mm]\IR^2[/mm] aus einer beliebigen regulären
> Parameterdarstellung?
> Wir hatten nur wie man es aus der Paramterarstellung der
> Bogenlänge ausrechnet.
>
> Was wir in der Vorlesung darüber besprochen hatten:
> Wenn [mm]\sigma(s_0)[/mm] der Punkt in [mm]\IR^2[/mm] ist um den ich den
> Krümmungskreis legen will ist. Und die Krümmung eines
> Kreisbogens mit Radius r : K:=1/r
>
> dann ist [mm]\frac{1}{|r|}[/mm] = [mm]|K_0|[/mm] = || [mm]\sigma[/mm] '' [mm](s_o)[/mm] ||
>
> Der Professor meinte, das ginge mit der Kettenregel?
Schau mal hier: Krümmung einer Kurve
Gruss
MathePower
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