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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 08.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale mittels Zylinder- bzw. Polarkoordinaten
[mm]
\integral_{D}{(x^2 + y ^2 )^2 * e^{2(1 - z)^7} d(x, y, z)}
D=\{ (x, y, z) \in \IR ^3 : z \in [0, 1], x^2 + y^2 \le (1 - z)^2 \} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir mal wieder nicht 100% sicher, ob das, was ich mache, wirklich richtig ist...
Erstmal:
[mm]
x = r *\cos \varphi;[/mm]
[mm]y = r *\sin \varphi;[/mm]
[mm]z = z;[/mm]
[mm]r: \left[ 0, 1 - z \right];[/mm]
[mm]z: \left[0 , 1\right];[/mm]
[mm]\varphi: \left[0 , 2\pi\right];
[/mm]
(hier die erste Frage: da Werte aus allen 4 Quadranden vorkommen, ist das der maximale Wertebereich?)
[mm]
\Rightarrow :
\integral_{z = 0}^{1}{ \integral_{\varphi = 0}^{2\pi}{\integral_{r = 0}^{z-1}{(x^2 + y^2)^2 * e ^{2(1-z)^7}*r d(r,\varphi, z)}
[/mm]
[mm] -- -- \integral_{r = 0}^{z - 1}{r^5 * e^{2(1-z)^7} dr} \Rightarrow \bruch{(z - 1)^6 }{ 6} * e^{2(1-z)^7
\integral_{\varphi = 0}^{2\pi}{\bruch{(z-1)^6}{6} *e^{2(1-z)^7}d\varphi
\Rightarrow \integral_{z = 0}^{1}{\pi * \bruch{(z-1)^6}{3} * e^{2(1-z)^7}}dz
\Rightarrow
\left[ \pi * \bruch{e^{2(z-1)^7}}{42\log(e)}\right]_{z=0}^{z = 1}
\Rightarrow \bruch{\pi - e^{-127}}{42log(e)}
[/mm]
Ist das wirklich schon alles? Bzw oben hab ich Zwischenschritte gekürzt, x wird natürlich ersetzt durch r *cos phi und y durch r * sin phi... Da sich das gegenseitig aufhebt (bzw 1 ergibt in der Funktion) hab ichs gleich weggelassen...
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 08.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale mittels Zylinder- bzw. Polarkoordinaten
[mm]
\integral_{D} {\bruch{y}{x} }dxy[/mm]
[mm]
D = \{ (x,y) \in \IR^2: x\ge 0;}\wurzel{x^2 + y^2} \in \left[ r, R \right], \left| y\right| \le x\},
(0
Hinweis: Aus (x, y)[mm]\in D folgt: x \ge \bruch{r}{\wurzel{2}}>0[/mm] |
Und hier weiß ich ehrlichgesagt nicht, wo anfangen...
In der Aufgabenstellung gilt noch [mm]x\ge0[/mm],
ab dem Hinweis nur noch x > 0?
|y| ist auch klar...
Die Werte befinden sich dann auf der rechten Halbkugel, mit der y-Achse als Begrenzung.
Damit ist [mm]\varphi \in\left[\bruch{3\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}\rigth][/mm]
Kann mir bitte jemand einen Schubbs geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 08.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
D ist ein Stück eines Kreisringes, zeichne ihne erstmal für irgendein r,R dann siehst du die Grenzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Do 09.06.2011 | | Autor: | kaschina |
für r gilt dann: r = x;
(Da y an der Stelle 0 immer den kleinsten Wert ergeben muss für [mm]\wurzel{ x^2 + y^2}[/mm] )
Der Hinweis gilt dann auch für alle r...
Für R gilt dann: [mm] R = 2x^2[/mm]
?
Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 09.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ausführungen versteh ich nicht.
wegen |y|<x und x>0 hast du einen Kreiringauschnitt zwischen den 2 Winkelhalbierenden y=x und y=-x im 1. und 3. Quadranten. x läuft damit von [mm] r/\wurzel{2} [/mm] bis R y lies selbst ab.
in Polarkoordinaten ist es einfacher wegen der Winkelhalbierenden, die [mm] \phi [/mm] begrenzen, unterscheide zwischen r dem Innenradius des Kreisringes und z.Bsp [mm] \rho [/mm] dem laufenden Integrationsradius.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 09.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Ich versteh grad gar nichts mehr, glaub ich.
Dass sich x und y zwischen den genannten Winkelhalbierenden befindet, ist mir klar.
Aber wenn ich Polarkoordinaten verwenden will, muss ich doch r und R eingrenzen?
Der kleinste Wert wäre dann bei mir eben für y = 0 gewesen, nämlich r = x als untere Integralgrenze und [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] als obere, für y = x... Also R = 2x (nicht wie vorher geschrieben im Quadrat)
Und für [mm]\varphi[/mm] gelten dann die Punkte der beiden Winkelhalbierenden. [mm]\bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm]
[mm]\integral_{\varphi =\bruch{ 7\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}} \integral_{r = x} ^{R = 2x} \bruch{ r cos \varphi}{r sin \varphi} *r d(r,\varphi)[/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Do 09.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte dir schon gesagt, du sollst den laufenden radius mit nem anderen Namen benennen als den festen Radius r des inneren Kreises.
also
$ [mm] \integral_{\varphi =\bruch{ -\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}} \integral_{r } [/mm] ^{R } [mm] \bruch{ cos \varphi}{ sin \varphi} \cdot{}\rho d(\rho,\varphi) [/mm] $
Was du mit dem x in der Grenze willst versteh ich nicht, nachdem du Polarkoordinaten hast, kommt es doch nicht mehr vor?
Nimm doch in Gedanken direkt Polarkoordinaten, dann sollte Klar sein, dass der Radiusparameter bei mir [mm] \rho [/mm] von r bis R läuft.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Do 09.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Im Prinzip war es mir klar, ich dachte nur nicht, dass ich das so stehenlassen darf und hab deswegen angefangen mit dem x...
Aber dann jetzt mal nochmal (Dass das Ergebnis 0 sein soll find ich gerade zu "einfach")...
[mm]\integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}} \integral_{r}^{R} { \bruch{sin \varphi} {cos\varphi} * p d(p,\varphi)}
\Rightarrow \integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}} tan\varphi * (\bruch{R^2 -r^2}{2}) d\varphi
\Rightarrow -ln (cos \bruch{\pi}{4}) * (\bruch{R^2 - r^2}{2}) - (-ln(cos\bruch{-\pi}{4})*(\bruch{R^2 - r^2}{2})
\cos\bruch{-\pi}{4} = cos\bruch{\pi}{4} = - \bruch{1}{4}
\Rightarrow (\bruch{R^2 - r^2}{2})(ln (\bruch{-1}{4}) - ln(\bruch{-1}{4}))= 0
[/mm]
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Hallo kaschina,
> Im Prinzip war es mir klar, ich dachte nur nicht, dass ich
> das so stehenlassen darf und hab deswegen angefangen mit
> dem x...
>
> Aber dann jetzt mal nochmal (Dass das Ergebnis 0 sein soll
> find ich gerade zu "einfach")...
>
> [mm]\integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}} \integral_{r}^{R} { \bruch{sin \varphi} {cos\varphi} * p d(p,\varphi)}
\Rightarrow \integral_{\bruch{-\pi}{4}}^{\bruch{\pi}{4}} tan\varphi * (\bruch{R^2 -r^2}{2}) d\varphi
\Rightarrow -ln (cos \bruch{\pi}{4}) * (\bruch{R^2 - r^2}{2}) - (-ln(cos\bruch{-\pi}{4})*(\bruch{R^2 - r^2}{2})
\cos\bruch{-\pi}{4} = cos\bruch{\pi}{4} = - \bruch{1}{4}
\Rightarrow (\bruch{R^2 - r^2}{2})(ln (\bruch{-1}{4}) - ln(\bruch{-1}{4}))= 0
[/mm]
Das Ergebnis 0 ist logisch, da es sich bei
[mm]\tan\left(\phi\right)[/mm] um eine ungerade Funktion handelt und
die Integrationsgrenzen symmetrisch liegen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 09.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Das stimmt also tatsächlich? Und die erste Aufgabe auch??
Wunderbar, vielen vielen Dank!!
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Hallo kaschina,
> Das stimmt also tatsächlich? Und die erste Aufgabe auch??
Bei der ersten Aufgabe ist
[mm]\pi \cdot{} \bruch{e^{2(z-1)^7}}{42\log(e)}[/mm]
in den Grenzen von z=0 bis z=1 auszurechnen.
>
> Wunderbar, vielen vielen Dank!!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Do 09.06.2011 | | Autor: | kaschina |
.. So kann man wohl auch Punkte verschenken.
Danke nochmal, hab den ersten Eintrag editiert (hoffentlich ohne Leichtsinnsfehler).
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