Integral ausrechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 19.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Hallo an alle,
ich muss dieses Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{2-q}{q-1}}e^{-t} Z (t(q-1)b) dt}
[/mm]
Mit partieller Integration komme ich hier ja nicht weiter, also habe ich es mit Substitution versucht, jedoch klappt das auch irgendwie nicht!
Es wär super, wenn mir jemand helfen könnte!
Es kommt auf jeden Fall ne Gammafunktion raus, das hab ich schon durchschaut!!
Vielen Dank
Pueppiii
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist hier Z(..)
und stammt das aus Funktionentheorie oder Anfangs Analysis?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Do 19.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Das [mm] Z=\summe_{i}^{} e^{-btH_{i}}, [/mm] aber sollte man wohl eher als Z belassen  !
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
geh doch mal zu wolfran integral oder wolfram alpha
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Fr 20.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Hi Leduart,
danke für den Tipp, aber das habe ich schon gemacht!!
Aber ich würde gern verstehen, wie es geht und nicht nur die Lösung haben, ich weiß auch nicht, ob die Lösung aus dem Wolfram Integral richtig ist, weil ich weiss nicht, ob das Tool weiß, wie er mit der Summe von Z umgehen soll!
Lg
pueppiii
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:11 Fr 20.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie es funktionieren kann??
Vielen Dank im Voraus!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Fr 20.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo pueppiii,
was Z ist, hast du ja schon erklärt. Da es Funktionen von t mit beinhaltet, kann man sicher nicht nur "so lassen".
Die Frage ist aber auch noch, ob b und q vielleicht auch noch "t-behaftet" sind.
Wenn das nicht so ist, geht es ja eigentlich "nur" um
[mm] \int{t^{\alpha}e^{-t}Z\beta t dt}
[/mm]
mit [mm] \alpha=\bruch{2-q}{q-1} [/mm] und [mm] \beta=b(q-1), [/mm] wobei das Z nun das eigentliche Problem darstellt. Ist denn von Z entweder Stammfunktion oder Ableitung bekannt? Dann könnte man ja doch partiell integrieren.
lg
reverend
PS: Weil die ursprüngliche Frage doch noch offen ist, stelle ich die jetzige mal auf "reagiert" um, ok?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 20.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Also das q und das b, auch das H sind alleine nicht t-behaftet.
Aber auf jeden Fall das Z und ich denke das muss man doch berücksichtigen, ich kenne leider keine Stammfunktion zu Z= [mm] \summe_{i}^{} e^{-btH}.
[/mm]
Also muss man die Funktion [mm] \int{t^{\alpha}e^{-t}\summe_{i}^{} e^{-btH}} [/mm] integrieren,
wobei [mm] \alpha =\bruch{2-q}{q-1} [/mm] ist, siehe reverend.
wobei das was vorher nach Z in Klammern stand, sprich (t(q-1)b) nur die "Abhängigkeit" von Z darstellt, das habe ich noch herausgefunden.
Was mache ich mit der Summe? Ich habe ja quasi 3 zu integrierende t´s, wie soll das mit partieller Integration funktionieren!?
Vielen Dank für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo pueppiii,
ich sehe keinen Weg, das anders zu berechnen als durch Auflösung der Summe in k Summanden und dann Aufspaltung in k Integrale, deren jedes so aussieht:
[mm] \int_{0}^{\infty}{t^{\alpha}e^{-t(b_{i}H_{i}+1)} dt}
[/mm]
Ich fasse wieder aus Schreibfaulheit zusammen, hier [mm] \beta_i:=b_{i}H_{i}+1
[/mm]
Wenn wir nun noch [mm] u=\beta_{i}t [/mm] substituieren, ist nur noch
[mm] c_{i}\int_{0}^{\infty}{e^{-u}u^{\alpha} du} [/mm] zu bestimmen.
Wie [mm] c_{i} [/mm] sich berechnet, überlasse ich mal Dir; es wird aber eben auch nur ein neuer Parameter als Faktor, deswegen auch gleich vors Integral gezogen.
Dies ist nun allerdings tatsächlich "nichts weiter" als die Gammafunktion [mm] \Gamma(\alpha+1).[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Hier steht sehr schön, wie man diese Integration partiell durchführt, weswegen ich mir Denk- und Schreibarbeit mal spare.
Eine wirklich geschlossene Lösung ist ohne genauere Kenntnis der Summe nicht möglich.
Es ergibt sich also [mm] ...=\Gamma(\alpha+1)\summe_{i}{c_{i}}
[/mm]
- und das ist doch ein erstaunlich übersichtliches Ergebnis. Schade, dass die rücksubstituierten [mm] c_{i} [/mm] das Ganze dann so aufblähen, aber in der Struktur nichts Tragisches.
Oder habe ich jetzt falsch gedacht?
Ich bitte um gründliche Kontrolle.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Fr 20.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Hallo reverend,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hab das ganze jetzt versucht nachzuvollziehen:
das mit der Aufspaltung nehme ich jetzt einfach ma so hin...
Dann habe ich substituiert: [mm] u=\beta_{i}t [/mm] , wobei [mm] t=\bruch{u}{\beta_{i}}
[/mm]
somit ist [mm] dt=\bruch{du}{\beta_{i}}
[/mm]
dann erhalte ich
[mm] \bruch{1}{\beta_{i}^{2}} \int_{0}^{\infty}{e^{-u}u^{\alpha} du}
[/mm]
Is das erstma richtig soweit?? Das meintest du bestimmt mit deinen [mm] c_{i}, [/mm] oder?
Dann erhalte ich hier die Gammafunktion (danke für diese tolle Empfehlung der Seite):
[mm] \Gamma(\alpha+1) [/mm] = [mm] \alpha \Gamma(\alpha), [/mm] dann ersetze ich mein [mm] \alpha
[/mm]
und erhalte:
[mm] \Gamma(\bruch{1}{1-q})= \bruch{2-q}{q-1} \Gamma(\bruch{2-q}{q-1})
[/mm]
Dann habe ich noch mein [mm] \bruch{1}{\beta_{i}^{2}} [/mm] --> [mm] zurücksub:\bruch{1}{(b_{i} H_{i}+1)^{2}}
[/mm]
So dass das Ergebnis dann so aussieht, oder???
[mm] \bruch{2-q}{q-1} \Gamma(\bruch{2-q}{q-1}) \summe_{i}^{}\bruch{1}{(b_{i} H_{i}+1)^{2}}.
[/mm]
Irgendwie tu ich mich bissel schwer mit der Gammafunktion und dann auch noch mit dieser Summe!!
Aber bei mir bläht sich da nix auf, oder habe ich einen Denkfehler!??
Liebe Grüße und danke!
pueppiii
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ich habe acht Minuten, dann ist endlich mein (Fertig-TK-)Essen fertig. Blöder Tag, ich koche lieber selbst.
> Hallo reverend,
>
> erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Gern doch. Sonst wäre ich nicht hier. Außerdem ist die Aufgabe spannend.
> Ich hab das ganze jetzt versucht nachzuvollziehen:
> das mit der Aufspaltung nehme ich jetzt einfach ma so
> hin...
>
> Dann habe ich substituiert: [mm]u=\beta_{i}t[/mm] , wobei
> [mm]t=\bruch{u}{\beta_{i}}[/mm]
> somit ist [mm]dt=\bruch{du}{\beta_{i}}[/mm]
> dann erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{\beta_{i}^{2}} \int_{0}^{\infty}{e^{-u}u^{\alpha} du}[/mm]
>
> Is das erstma richtig soweit?? Das meintest du bestimmt mit
> deinen [mm]c_{i},[/mm] oder?
Nein, Dein [mm] c_i [/mm] stimmt noch nicht.
> Dann erhalte ich hier die Gammafunktion (danke für diese
> tolle Empfehlung der Seite):
Ich fand die deutsche Wiki-Seite hier nicht informativ genug und habe einfach gehofft, dass die englische besser wäre. Bingo.
> [mm]\Gamma(\alpha+1)[/mm] = [mm]\alpha \Gamma(\alpha),[/mm] dann ersetze ich
> mein [mm]\alpha[/mm]
> und erhalte:
>
> [mm]\Gamma(\bruch{1}{1-q})= \bruch{2-q}{q-1} \Gamma(\bruch{2-q}{q-1})[/mm]
>
> Dann habe ich noch mein [mm]\bruch{1}{\beta_{i}^{2}}[/mm] -->
> [mm]zurücksub:\bruch{1}{(b_{i} H_{i}+1)^{2}}[/mm]
>
> So dass das Ergebnis dann so aussieht, oder???
>
>
> [mm]\bruch{2-q}{q-1} \Gamma(\bruch{2-q}{q-1}) \summe_{i}^{}\bruch{1}{(b_{i} H_{i}+1)^{2}}.[/mm]
>
> Irgendwie tu ich mich bissel schwer mit der Gammafunktion
> und dann auch noch mit dieser Summe!!
Ich auch.
Ich würde bei dem "schöneren" Term [mm] \Gamma(\bruch{1}{1-q}) [/mm] bleiben und ihn nicht ersetzen. Und die [mm] c_i [/mm] stimmen, wie gesagt, noch nicht. Schau Dir nochmal genau die Substitution nach u an und was sie mit dem Integral tut. Normalerweise müsste man auch noch die Grenzen bedenken, aber wenigstens da hast Du Glück.
lg,
reverend
> Aber bei mir bläht sich da nix auf, oder habe ich einen
> Denkfehler!??
>
> Liebe Grüße und danke!
> pueppiii
PS: Komisch, bisher gar kein Widerspruch von den andern. Sollte ich etwa richtig gedacht haben? Meine Erfahrung mit der Gammafunktion ist nämlich auch ziemlich mager.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Hallo,
ich habe mir die Substitution nach u gestern Abend und vorhin auch nochma angeschaut und irgendwie bemerke ich keinen Fehler meinerseits.
Hab doch mein u substituiert und mein t ordnungsgemäß ersetzt..., was soll das u mit dem Integral machen...? Meinst du, weil da 0 rauskommt??
Hm...?
verzweifelte Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo pueppiii,
die Frage ist doch, wie kommst Du auf [mm] \bruch{1}{\beta_{i}^2} [/mm] für [mm] c_i?
[/mm]
Um das Argument der e-Funktion zu vereinfachen, war die Substitution [mm] u=\beta_{i}t [/mm] mit [mm] \beta_i=b_{i}H_i+1 [/mm] durchgeführt worden.
Es gilt also [mm] t=\bruch{u}{\beta_i}
[/mm]
Nun ist [mm] t^{\alpha}*e^{-u}=e^{-u}\left(\bruch{u}{\beta_i}\right)^{\alpha}=e^{-u}u^{\alpha}*\bruch{1}{\beta_i^{\alpha}}
[/mm]
und mithin [mm] c_i=\bruch{1}{\beta_i^{\alpha}}
[/mm]
Die Lösung sieht also doch etwas umfänglicher aus:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{2-q}{q-1}}e^{-t} Z (t(q-1)b) dt}\quad =\quad\Gamma\left(\bruch{1}{1-q}\right)\summe_{i}\bruch{1}{(b_{i}H_i+1)^{\bruch{2-q}{q-1}}}\quad =\quad\Gamma\left(\bruch{1}{1-q}\right)\summe_{i}(b_{i}H_i+1)^{1+\bruch{1}{1-q}}
[/mm]
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Ok alles klar, danke, ich habe mein Fehler sofort gefunden...Danke dir!!!
Ich hab das [mm] \bruch{1}{\beta_{i}} [/mm] einfach rausgezogen aus dem Integral ohne das [mm] \alpha [/mm] zu beachten *schäm*!!
Aber eigentlich bleibt ja von der Substitution, weil ich ja dt ersetze mit [mm] \bruch{du}{\beta_{i}} [/mm] ersetze noch ein [mm] \beta_{i} [/mm] übrig, das hast du nich berücksichtigt, oder??
|
|
|
| |
|
Stimmt, habe ich nicht.
Danke für den Hinweis.
Dann wäre ja die Lösung...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{2-q}{q-1}}e^{-t} Z (t(q-1)b) dt}\quad =\quad\Gamma\left(\bruch{1}{q-1}\right)\summe_{i}\bruch{1}{(b_{i}H_i+1)^{\bruch{1}{q-1}}}\quad =\quad\Gamma\left(\bruch{1}{q-1}\right)\summe_{i}(b_{i}H_i+1)^{1+\bruch{1}{q-1}}
[/mm]
So würde meine Lösung dann aussehen, bei dir steht auch (1-q), sollte aber (q-1) heißen, oder !!! Was meinst du?
Dann hätte ich noch ma ne Frage zu deiner englischen Wikiseite bzgl. der Gammafkt. und zwar steht dort: to solve this integral
[mm] \int_0^\infty e^{-x} x^n \, [/mm] dx = [mm] \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty [/mm] + n [mm] \int_0^\infty e^{-x} x^{n - 1}\, [/mm] dx
Kann das sein, dass das in den eckigen Klammern eher das sein müsste [mm] [\bruch{x^{n}}{e^{x}}], [/mm] weiss nicht, wo das - bei dem [mm] x^{n} [/mm] herkommt...?
Danke dir nochmal für deine Geduld!!!
|
|
|
| |
|
Hallo pueppiii,
das Ende naht.
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{2-q}{q-1}}e^{-t} Z (t(q-1)b) dt}\quad =\quad\Gamma\left(\bruch{1}{q-1}\right)\summe_{i}\bruch{1}{(b_{i}H_i+1)^{\bruch{1}{q-1}}}\quad =\quad\Gamma\left(\bruch{1}{q-1}\right)\summe_{i}(b_{i}H_i+1)^{\red{\bruch{1}{1-q}}}[/mm]
>
> So würde meine Lösung dann aussehen, bei dir steht auch
> (1-q), sollte aber (q-1) heißen, oder !!! Was meinst
> du?
Mit dem roten Exponenten oben müsste es doch jetzt stimmen. Ich habe nur [mm] -\bruch{1}{q-1}=+\bruch{1}{1-q} [/mm] angewandt.
> Dann hätte ich noch ma ne Frage zu deiner englischen
> Wikiseite bzgl. der Gammafkt. und zwar steht dort: to
> solve this integral
>
> [mm]\int_0^\infty e^{-x} x^n \,[/mm] dx =
> [mm]\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty[/mm] + n [mm]\int_0^\infty e^{-x} x^{n - 1}\,[/mm]
> dx
>
> Kann das sein, dass das in den eckigen Klammern eher das
> sein müsste [mm][\bruch{x^{n}}{e^{x}}],[/mm] weiss nicht, wo das -
> bei dem [mm]x^{n}[/mm] herkommt...?
Das Minus stammt aus der Integration von [mm] e^{-x}, [/mm] denn es gilt ja
[mm] \int{e^{-x} dx}=-e^{-x}+C=-\bruch{1}{e^x}+C
[/mm]
Es bewirkt übrigens auch, dass vor dem Integral auf der rechten Seite ein Plus statt des erwarteten Minus steht.
> Danke dir nochmal für deine Geduld!!!
Na, gern doch. Schön übrigens, dass Du bei mir noch einen Fehler gefunden hast. Es zeigt, dass Du mitdenkst und die Aufgabe selber lösen können willst. Dann macht auch der Gegenseite (hier also mir) das Engagement viel mehr Spaß. Ich habe den Fehler übrigens nicht absichtlich produziert und drin gelassen, sondern an der Stelle einfach selber einen Flüchtigkeitsfehler gemacht. Hoffentlich nicht mehr...
ciao,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Jab, ich will das Ganze ja auch verstehen und nich einfach nur die Lösung haben, sonst lerne ich ja nichts und habe nichts davon!
Nochma zu dem anderen Problem auf der Wiki Seite, was übrigens keines mehr ist, den ich habe das Minus bei mir stehen, doch bissel zu sehr rumgeschmiert bei meiner partiellen, sorry!!!
Find ich super, das wir jetzt die Lösung von dem tollen Integral haben!!!
Das die Summe in K Summanden aufgelöst und somit in k Integrale aufgepaltet wurde, brauch ich nich noch zu beachten, oder??
Und da dir/ uns keiner wiedersprochen hat, is die Lösung jetzt sicher, ne?
Hab das nochma mit dem Wolfram Integral probiert:
Da kommt der Spaß raus:
[mm] \integral_{}^{}{t^{\alpha}e^{-t\beta_{i}}dt} [/mm] = [mm] -t^{1+\alpha}*E_{-a}(\beta_{i}t)
[/mm]
[mm] E_{-a}(\beta_{i}t) [/mm] --> Diese Funktion entspricht genau unserem [mm] \Gamma{(\alpha+1)}
[/mm]
Bloss bei dem Term [mm] -t^{1+\alpha} [/mm] ist ja immer noch das t drin, naja...
Liebe Grüße
pueppiii
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Sa 21.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Find ich super, das wir jetzt die Lösung von dem tollen
> Integral haben!!!
> Das die Summe in K Summanden aufgelöst und somit in k
> Integrale aufgepaltet wurde, brauch ich nich noch zu
> beachten, oder??
Nein, das steckte ja vorher in dem Z drin, das als Summe definiert war. Da wird die Lösung ohne Zusatzinformationen nicht um eine Summenform herumkommen.
> Und da dir/ uns keiner wiedersprochen hat, is die Lösung
> jetzt sicher, ne?
>
Ich denke schon. Wir gehen hier positiv-kritisch miteinander um. Jeder macht Fehler, gegenseitige Überprüfung ist daher sinnvoll.
> Hab das nochma mit dem Wolfram Integral probiert:
> Da kommt der Spaß raus:
> [mm]\integral_{}^{}{t^{\alpha}e^{-t\beta_{i}}dt}[/mm] =
> [mm]-t^{1+\alpha}*E_{-a}(\beta_{i}t)[/mm]
>
> [mm]E_{-a}(\beta_{i}t)[/mm] --> Diese Funktion entspricht genau
> unserem [mm]\Gamma{(\alpha+1)}[/mm]
>
> Bloss bei dem Term [mm]-t^{1+\alpha}[/mm] ist ja immer noch das t
> drin, naja...
Tja, das überblicke ich auch gerade nicht. Ich denke, es liegt daran, dass bei Deiner Eingabe die Exponenten am t und am e in keinem definierten Zusammenhang stehen. In unserer Rechnung taten sie das aber.
> Liebe Grüße
> pueppiii
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pueppiii |
Alles klar, super, "wir" habens geschafft !!
Ich wünsch dir noch ein schönes WE, und bis bald vielleicht ma wieder!
Es hat Spaß gemacht mit dir zu "arbeiten"!
Liebe Grüße
pueppiii
|
|
|
|
