Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral
[mm] I_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{3}{7*x*e^{x}^{2} dx} [/mm] |
Hi zusammen,
zunächst muss ich sagen das bei dem Teil mit"e" es e hoch x hoch 2 bedeuten soll. Habe es nicht hinbekommen es richtig darzustellen.
Nun zur Aufgabe.
Zunächst habe ich mal die 7 als Konstante rausgezogen.
[mm] I_2 [/mm] = [mm] 7*\integral_{0}^{3}{x*e^{x}^{2} dx}
[/mm]
Nun haben wir in der Übung folgendes gemacht.
Substitution u = [mm] x^2 [/mm] du= 2x dx -> dx = [mm] \bruch{du}{2}
[/mm]
du = 2x dx weil [mm] x^2 [/mm] zu 2x wird, das verstehe ich noch.
den "dx =" Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen. Hab ich da was falsch mitgeschrieben ?
[mm] \integral{e^u} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \integral{e^u} [/mm] dx = [mm] \bruch{e^u}{2}
[/mm]
Der 1/2 Teil denke ich mal kommt wegen dx = [mm] \bruch{du}{2}, [/mm] stimmt das ?
Jetzt die Rücksubstitution, also wieder [mm] x^2 [/mm] statt u.
Nun wurde die Konstante 7 mit dem Bruch multipliziert.
Also [mm] \bruch{7e^x^2}{2}+C
[/mm]
Das kann ich auch nachvollziehen.
Nur frage ich mich was aus dem x wurde zwischen der 7 und e ?
[mm] \integral{x} [/mm] dx = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + C
Wurde das vergessen oder habe ich etwas falsch verstanden ?
Danke für die Hilfe im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
so richtig komme ich immer noch nicht hinter meine Problematik.
[mm] 7*\integral_{0}^{3}{e^{x^2} dx}
[/mm]
u = [mm] x^2 [/mm] du = 2x * dx x * dx = [mm] \bruch{du}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \integral{e^u} [/mm] du = [mm] \bruch{e^u}{2}
[/mm]
Jetzt die Rücksubstitution:
[mm] \bruch{e^{x^2}}{2}
[/mm]
Diesen multipliziere ich nun mit der Konstante 7 und bekomme,
[mm] \bruch{7*e^{x^2}}{2} [/mm] + C
Jetzt noch obere minus unterer Grenze
Was ich noch nicht so wirklich verstanden habe ist, was mit dem x passiert.
x * dx wird durch [mm] \bruch{du}{2} [/mm] ersetzt, aber muss ich das nicht wie bei der Substitution am Ende wieder dazu bringen ?
Hier stehe ich echt auf dem Schlauch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Ladon |
> Hi,
> so richtig komme ich immer noch nicht hinter meine
> Problematik.
> [mm] $7*\integral_{0}^{3}{$[red]x[/red]$\cdot e^{x^2} dx}$
[/mm]
>
> u = [mm]x^2[/mm] du = 2x * dx x * dx = [mm]\bruch{du}{2}[/mm]
Warum bringst du das x nicht auch auf die andere Seite in der Form:
$ du = 2x * [mm] dx\gdw dx=\frac{du}{2x}$.
[/mm]
Anschließend gehst du so wie bei jeder Substitution vor. Du machst das, was du geschrieben hast, d.h. ersetze: [mm] x^2=u [/mm] und [mm] dx=\frac{du}{2x}. [/mm] Wir erhalten:
[mm] 7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9, [/mm] wobei [mm] u=x^2. [/mm] Jetzt kannst du es meinetwegen rücksubstituieren oder mit der veränderten Grenze u(0)=0 und u(3)=9 rechnen.
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral{e^u}[/mm] du = [mm]\bruch{e^u}{2}[/mm]
>
Irgendwie fehlt hier der Vorfaktor 7. Den multiplizierst du später zwar dazu, aber das ist zumindest kein schöner Stil, höchstens verwirrend.
> Jetzt die Rücksubstitution:
> [mm]\bruch{e^{x^2}}{2}[/mm]
> Diesen multipliziere ich nun mit der Konstante 7 und
> bekomme,
> [mm]\bruch{7*e^{x^2}}{2}[/mm] + C
>
> Jetzt noch obere minus unterer Grenze
>
> Was ich noch nicht so wirklich verstanden habe ist, was mit
> dem x passiert.
> x * dx wird durch [mm]\bruch{du}{2}[/mm] ersetzt, aber muss ich das
> nicht wie bei der Substitution am Ende wieder dazu bringen
> ?
> Hier stehe ich echt auf dem Schlauch.
>
Was mit dem x passiert hast du in meinen Ausführungen oben gesehen. Mit dem x passiert dasselbe, wie mit der 2. Es kürzt sich quasi weg, da du eben [mm] x^2 [/mm] durch dein u substituierst (ersetzt) und dx durch [mm] \frac{du}{2x} [/mm] ersetzt.
MfG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi
> Warum bringst du das x nicht auch auf die andere Seite in
> der Form:
> [mm]du = 2x * dx\gdw dx=\frac{du}{2x}[/mm].
> Anschließend gehst du
> so wie bei jeder Substitution vor. Du machst das, was du
> geschrieben hast, d.h. ersetze: [mm]x^2=u[/mm] und [mm]dx=\frac{du}{2x}.[/mm]
> Wir erhalten:
> [mm]7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9,[/mm]
> wobei [mm]u=x^2.[/mm]
Ich denke mal bei deinem dritten Schritt soll es du und nicht dx sein, oder ?
Nun habe ich verstanden wieso sich x, bzw. 2x, weggkürzt.
Jetzt kann ich auch den ersten Tipp nachvollziehen, das ich desser 7/2 und nicht 7 als Konstante rausziehen sollte.
> Was mit dem x passiert hast du in meinen Ausführungen oben
> gesehen. Mit dem x passiert dasselbe, wie mit der 2. Es
> kürzt sich quasi weg, da du eben [mm]x^2[/mm] durch dein u
> substituierst (ersetzt) und dx durch [mm]\frac{du}{2x}[/mm]
> ersetzt.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Wir erhalten:
> > [mm]7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9,[/mm]
> > wobei [mm]u=x^2.[/mm]
> Ich denke mal bei deinem dritten Schritt soll es du und
> nicht dx sein, oder ?
Ja, genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun habe ich verstanden wieso sich x, bzw. 2x,
> weggkürzt.
> Jetzt kann ich auch den ersten Tipp nachvollziehen, das
> ich desser 7/2 und nicht 7 als Konstante rausziehen
> sollte.
Ja, das ist halt die hohe Kunst der Integration. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Bindl |
Ich werde in Zukunft mit dem rausziehen von Konstanten nicht so voreilig sein und erst einmal darauf achten, mit was ich eine Substitution mache.
Danke für eure Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Ladon |
> Hi
>
> > Warum bringst du das x nicht auch auf die andere Seite in
> > der Form:
> > [mm]du = 2x * dx\gdw dx=\frac{du}{2x}[/mm].
> > Anschließend
> gehst du
> > so wie bei jeder Substitution vor. Du machst das, was du
> > geschrieben hast, d.h. ersetze: [mm]x^2=u[/mm] und [mm]dx=\frac{du}{2x}.[/mm]
> > Wir erhalten:
> > [mm]7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9,[/mm]
> > wobei [mm]u=x^2.[/mm]
> Ich denke mal bei deinem dritten Schritt soll es du und
> nicht dx sein, oder ?
Da hast du Recht. Das passiert wenn man sich zur Vereinfachung des copy-and-paste bedient.
LG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Bindl,
vielleicht noch mal kurz etwas grundsätzliches.
> Nun haben wir in der Übung folgendes gemacht.
> Substitution u = [mm]x^2[/mm] du= 2x dx -> dx =
> [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
> du = 2x dx weil [mm]x^2[/mm] zu 2x wird, das verstehe ich noch.
> den "dx =" Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen. Hab
> ich da was falsch mitgeschrieben ?
Ich fand es immer hilfreich mit folgendem zu beginnen:
[mm] \frac{du}{dx}=2x
[/mm]
Danach folgen Äquivalenzumformungen zu der gewünschten Form "dx=".
Ich habe mir immer als Gedankenstütze gemerkt, dass ich bei "du nach dx" eben mein [mm] u=x^2 [/mm] nach x ableiten muss. Irgendwann geht das in Fleisch und Blut über 
Aber gerade zu Anfang war mir das immer eine Gedankenstütze.
MfG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Bindl |
Danke für den Tipp
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
