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Hallo,
ich habe vor einer Zeit schon Integrale berechnet (mühsam). Jetzt haben wir irgendwie andere Aufgabentypen dazu bekommen.
Ich schreibe hier mal 2 davon rein, die sich für mich unterscheiden.
Hoffe mir kann jemand helfen.
1.
[mm] \integral_{1}^{2} \integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} dydx}
[/mm]
2.
[mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dydx}
[/mm]
Vielen Dank für eure Mühe!! Wie immer!
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Hallo Prinzessin!
Diese Art Integrale mußt Du von innen nach außen berechnen.
Da bei wird bei dem inneren Integral einer der beiden Variablen als konstant angesehen (abhängig von [mm] $\red{dx}$ [/mm] bzw. [mm] $\blue{dy} [/mm] )$.
Ich zeige Dir das mal bei Deinem ersten Beispiel:
[mm]\red{\integral_{1}^{2}} \blue{\integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} \ dy}} \ \red{dx}[/mm]
Beginnen wir hier mit dem inneren Integral:
[mm]\blue{\integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} \ dy}}[/mm]
Hier wird nun nach y integriert (wegen [mm] $\blue{dy}$), [/mm] also ist der Faktor [mm] $x^2$ [/mm] als konstant anzusehen:
[mm]\integral_{\bruch{1}{x}}^{x} {\bruch{x^2}{y^2} \ dy}[/mm]
[mm]= \ x^2 * \integral_{\bruch{1}{x}}^{x}{y^{-2} \ dy}[/mm]
[mm]= \ x^2 * \left[-y^{-1}\right]_{\bruch{1}{x}}^{x}[/mm]
[mm]= \ x^2 * \left[-\bruch{1}{y}\right]_{\bruch{1}{x}}^{x}[/mm]
[mm]= \ x^2 * \left[-\bruch{1}{x} - \left(-\bruch{1}{\bruch{1}{x}\right)\right][/mm]
[mm]= \ x^2 * \left[-\bruch{1}{x} + x\right][/mm]
[mm]= \ -x + x^3[/mm]
Nun mußt Du noch das Integral [mm] $\red{\integral_{1}^{2} {-x + x^3 \ dx}}$ [/mm] lösen.
Das schaffst Du doch selber, oder?
Was erhältst Du für die zweite Aufgabe?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
vielen dank dir! Ist sehr ausführlich!
Ich habe jetzt so weiter gemacht
[mm] {\integral_{1}^{2} {-x + x^3 \ dx}}
[/mm]
[mm] =[-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{4}x^4]_{1}^{2}
[/mm]
[mm] =[-\bruch{1}{2}2^2+\bruch{1}{4}2^4]-(-\bruch{1}{2}1^2+\bruch{1}{4}1^4)
[/mm]
[mm] =-2+4-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{9}{4}
[/mm]
Richtig?
Jetzt 2.
[mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dydx}
[/mm]
Innere Integral:
[mm] \integral_{0}^{2} {(1-6x^2 y) dy}
[/mm]
[mm] =[x-2x^3 y]_{0}^{2}
[/mm]
[mm] =x-2x^3*2-x+2x^3*0
[/mm]
[mm] =-4x^3
[/mm]
Jetzt das Integral [mm] \integral_{-1}^{1} {-4x^3 dx}
[/mm]
[mm] =[-x^4]_{-1}^{1}
[/mm]
=-1-(-1)
=0
Habe ich was falsch gemacht??
Danke!!!
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Danke für die Korrekturen!
Also ich gehe jetzt mal hier weiter
$ = \ [mm] \left[y-3x^2\cdot{}y^2\right]_{0}^{2} [/mm] $
[mm] =2-3x^2*4-0+0
[/mm]
[mm] =-12x^2+2
[/mm]
Und jetzt [mm] \integral_{-1}^{1} {-12x^2+2 dx}
[/mm]
[mm] =[-4x^3+x^2]_{-1}^{1}
[/mm]
=-4+1-(4+1)
=-8
So jetzt ??
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Hallo ...
> Also ich gehe jetzt mal hier weiter
> [mm]= \ \left[y-3x^2\cdot{}y^2\right]_{0}^{2}[/mm]
>
> [mm]=2-3x^2*4-0+0[/mm]
> [mm]=-12x^2+2[/mm]
>
> Und jetzt [mm]\integral_{-1}^{1} {-12x^2+2 dx}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]=[-4x^3+x^2]_{-1}^{1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du Dich mit der Stammfunktion des hinteren Terms vertan:
[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {2 \ dx} \ = \ [mm] 2\red{x}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ups, das ist ein blöder Fehler...
Also
[mm] =[-4x^3+2x]_{-1}^{1}
[/mm]
=-4+2-(4-2)
=-4
Jetzt hoffe ich, das es stimmt....
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Hallo Eure Hoheit  ...
> Also [mm]=[-4x^3+2x]_{-1}^{1}[/mm] =-4+2-(4-2) =-4
Yes!
System dieser Integraltypen nun (halbwegs) verstanden ??
Gruß vom
Roadrunner
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Danke dir für die Erklärungen!
Ich weiß jetzt wie man das berechnet, aber wozu man das braucht bzw. was man damit anfangen kannst weiß ich nicht, wie so oft.
Gute Nacht!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
!)
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
??
