Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende eigentliche und uneigentliche Integrale
1. [mm] \integral_{f}^{g}{\bruch{dx}{ax^2+bx+c}} [/mm] |
Ok, jetzt steht das dx zur Verwirrung einfach im ZÄhler, somit steht im Zähler eigentlich eine 1.
Aber wie kann ich das Integral eines Bruchs berechnen???
|
|
| |
|
Hallo sissenge,
durch dieses Integral musst Du Dich einmal durchbeißen, es kommt immer wieder vor. Wie praktisch, dass es hier sogar mit allgemeinen Koeffizienten steht. Das erhöht allerdings den Schreibaufwand ungemein.
> Berechnen Sie folgende eigentliche und uneigentliche
> Integrale
> 1. [mm]\integral_{f}^{g}{\bruch{dx}{ax^2+bx+c}}[/mm]
> Ok, jetzt steht das dx zur Verwirrung einfach im ZÄhler,
> somit steht im Zähler eigentlich eine 1.
Genau. Es hat Dich also gar nicht verwirrt.
> Aber wie kann ich das Integral eines Bruchs berechnen???
Die Frage ist irreführend, weswegen ich sie lieber gar nicht erst zu beantworten versuche. Die zu integrierende Funktion ist eben eine ganzrationale und das Zählerpolynom ist praktischerweise eine Konstante, also vom Grad Null.
Bei komplizierteren ganzrationalen Funktionen führst Du durch Partialbruchzerlegung (hattet Ihr die schon?) die Funktion auf eine Summe von Brüchen zurück, die zu drei Standardtypen gehören. Die Dir gerade vorliegende Form ist einer dieser Typen.
Hier ein Tipp zur Vorgehensweise:
Du führst im Nenner eine quadratische Ergänzung durch:
[mm] ax^2+bx+c=\left(\wurzel{a}x+\bruch{b}{2\wurzel{a}}\right)^2+\blue{\left(c-\bruch{b^2}{4a}\right)}
[/mm]
Dann substituierst Du das Gemüse in der ersten Klammer und nennst es u. Vergiss nicht, dass dann auch "dx" durch "du" ersetzt werden muss, wozu noch eine weitere Nebenrechnung vorab nötig ist.
Du kommst dann auf ein Integral der Form [mm] \integral{\bruch{1}{t+u^2}\ du}
[/mm]
Das findest Du unter den Grundintegralen in jedem Einführungsbuch.
Die Stammfunktion dazu ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{t}}\arctan{\bruch{x}{\wurzel{t}}}+C
[/mm]
Dann noch resubstituieren, und wenn Du alles richtig gemacht hast mit den Parametern a,b,c, dann sieht Deine Lösung mächtig umfangreich aus.
Viel Erfolg!
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
WOW!!! Und darauf hätte ich WIE kommen können???
Ok. Mit substituieren klappt das noch nciht ganz so bei mir..
[mm] (\wurzel{ax} [/mm] + [mm] \bruch{b}{2\wurzel{a}}) [/mm] = u
Jetzt muss ich [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] berechnen oder??
das ist dann [mm] \bruch{\wurzel{a}}{1/2 \wurzel{x}}
[/mm]
oder???
|
|
|
| |
|
Hallo sissenge,
> WOW!!! Und darauf hätte ich WIE kommen können???
>
> Ok. Mit substituieren klappt das noch nciht ganz so bei
> mir..
>
> [mm](\wurzel{ax}[/mm] + [mm]\bruch{b}{2\wurzel{a}})[/mm] = u
Achtung! Die Wurzel geht nur über das a, also [mm]u=u(x):=\sqrt{a}\cdot{}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}[/mm]
> Jetzt muss ich [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] berechnen oder??
Ja! Und nach [mm]dx[/mm] auflösen.
>
> das ist dann [mm]\bruch{\wurzel{a}}{1/2 \wurzel{x}}[/mm]
Nein!
>
> oder???
Vllt. ist es etwas einfacher, wenn du vor der quadr. Ergänzung a ausklammerst.
[mm]\int{\frac{1}{ax^2+bx+c} \ dx}=\frac{1}{a}\cdot{}\int{\frac{1}{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}} \ dx}=\frac{1}{a}\cdot{}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\frac{1}{a}\cdot{}\int{\frac{1}{\left(\frac{2axb}{2a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)^2} \ dx}[/mm]
Nun kannst du substituieren oder (so würde ich es machen) das Integral erstmal in die Form [mm]M\cdot{}\int{\frac{1}{(Kx)^2+1} \ dx}[/mm] bringen.
Klammere dazu im Nenner entsprechend aus.
Dann kannst du es per Substitution in ein Integral der Form [mm]L\cdot{\int{\frac{1}{1+t^2} \ dt}[/mm] bringen, dessen Stfk. wohlbekannt ist ...
Aber es ist einerlei. Wenn du die in anderen Antwort genannte Formel nimmst, sollte dasselbe herauskommen...
Ich kann mir solche Formeln aber nie merken und habe auch keine Lust dazu, sondern führe sowas immer auf ein (mir besser) bekanntes Stammintegral zurück (wenn möglich)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Achso.... ok dann ist du/dx = [mm] \wurzel{a} [/mm] oder?? dann ist dx= [mm] 1/\wurzel{a}du
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Achso.... ok dann ist du/dx = [mm]\wurzel{a}[/mm] oder?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dann ist
> dx= [mm]1/\wurzel{a}du[/mm]
Ganz genau!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ok..muss ich denn dann auch die Grenzen erändern??
Jetzt steht folgendes da:
[mm] \integral_{f}^{g}{\bruch{1}{(\wurzel{a}x+\bruch{b}{2\wurzel{a}})^2+(c-\bruch{b^2}{4a})} \bruch{1}{\wurzel{a}}du}
[/mm]
Und jetzt?? Da bekomme ich doch nie die Form [mm] \integral{\bruch{1}{t+u^2}\ du} [/mm] raus??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ok..muss ich denn dann auch die Grenzen erändern??
Ja, müsstest du, rechne doch der Einfachheit halber ohne Grenzen, resubstituiere dann am Ende und nimm wieder die "alten" Grenzen
> Jetzt steht folgendes da:
>
> [mm]\integral_{f}^{g}{\bruch{1}{(\wurzel{a}x+\bruch{b}{2\wurzel{a}})^2+(c-\bruch{b^2}{4a})} \bruch{1}{\wurzel{a}}du}[/mm]
Na,na, du hast doch den Term innerhalb der 1.Klammer durch [mm]u[/mm] ersetzt.
Also steht da [mm]\int{\frac{1}{u^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)} \ \frac{1}{\sqrt{a}} \ du}[/mm]
Den Faktor [mm]\frac{1}{\sqrt{a}}[/mm] kannst du vor das Integral ziehen, also hast du
[mm]...=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot{}\int{\frac{1}{u^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)} \ du}[/mm]
Das rechne nun aus, dann resubst. und die Grenzen in x einsetzen
>
> Und jetzt?? Da bekomme ich doch nie die Form
> [mm]\integral{\bruch{1}{t+u^2}\ du}[/mm] raus??
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ok... dann habe ich ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}} \integral_{f}^{g}{\bruch{1}{t+u^2} du}
[/mm]
Dann verwende ich die Formel von vorhin:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{a}} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}} [/mm] arctan [mm] (\bruch{x}{\wurzel{c-b^2/4a}} [/mm] +C ]
Und nun? für x einmal g und einmal f einsetzten? und wie resubstituriere ich dann??
|
|
|
| |
|
Hallo sissenge,
noch nicht ganz...
> ok... dann habe ich ja [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}} \integral_{f}^{g}{\bruch{1}{t+u^2} du}[/mm]
Nein, wenn Du mit dem bestimmten Integral rechnest, musst Du auch die Grenzen mit substituieren. Folge besser dem Tipp, erst einmal das unbestimmte Integral zu berechnen, dann zu resubstituieren, und schließlich die alten Grenzen anzuwenden.
Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Schritte unbedingt an!
> Dann verwende ich die Formel von vorhin:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}}[/mm] [ [mm]\bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}}[/mm] arctan
> [mm](\bruch{x}{\wurzel{c-b^2/4a}}[/mm] +C ]
Nein, die Integrationskonstante gehört nicht ins Argument des [mm] \arctan.
[/mm]
Außerdem ist dies doch die Lösung des Integrals über dt, nicht über dx.
> Und nun? für x einmal g und einmal f einsetzten? und wie
> resubstituriere ich dann??
Wie gesagt, achte auf die Reihenfolge der Schritte. Jetzt erst resubstituieren, dann g und f für x einsetzen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok dann also erst unbestimmt
[mm] \bruch{1}{\wurzel{a}} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u^2 + ( c - b^2/4a)}du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{a}} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}} arctan(\bruch{x}{\wurzel{c-b^2/4a}}) [/mm] +c
was muss ich denn jetzt noch resubstituieren ich habe doch gar kein u mehr drin stehen oder ist das x eigentlich ein u??
|
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u^2 + ( c - b^2/4a)}du}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}}[/mm] [ [mm]\bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}} arctan(\bruch{x}{\wurzel{c-b^2/4a}})[/mm]
> +c
>
> was muss ich denn jetzt noch resubstituieren ich habe doch
> gar kein u mehr drin stehen oder ist das x eigentlich ein
> u??
Genau, das x ist falsch hier. Wo sollte es auch herkommen?
Stell Dir vor, Du hast nur dieses Integral vorliegen, und wüsstest nichts über seine "Vorgeschichte", also dass es durch eine Umformung per Substitution seine Gestalt erlangt hat - dann wäre die Lösung schicht falsch. Sie ist nämlich konstant.
Die Angabe der Integrationsvariablen ist immer auch wesentlich für das Ergebnis.
Vergleiche mal die Lösungen dieser drei Aufgaben:
[mm] \integral{\bruch{x}{y}+z\ dx}=?
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{x}{y}+z\ dy}=?
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{x}{y}+z\ dz}=?
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
bei denen kommt immer eine andere Lösung raus, da ich ja immer eine andere Variable zu betrachten habe...
also steht statt des x ein u..
damit setzte ich dann für u meine Substitution ein.
Oh man ist das eine Gleichung....
Und jetzt muss ich doch die Grenzen einsetzten für x dann aber...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> bei denen kommt immer eine andere Lösung raus, da ich ja
> immer eine andere Variable zu betrachten habe...
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was kommt den bei "denen" raus?
Wir lesen ja nicht mit!
>
> also steht statt des x ein u..
>
> damit setzte ich dann für u meine Substitution ein.
> Oh man ist das eine Gleichung....
> Und jetzt muss ich doch die Grenzen einsetzten für x dann
> aber...
>
Nochmal:
Das substituierte Integral (ohne Grenzen) lautet (siehe oben):
[mm]\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot{}\int{\frac{1}{u^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)} \ du}[/mm]
Das hat nach Reverends Formel als Stfk.:
[mm]\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}\cdot{}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4a}}}\right)[/mm]
2 Möglichkeiten:
1)
Hier nun das [mm]u[/mm] wieder ersetzen durch [mm]\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}[/mm] und vereinfachen ...
Dann kannst du die alten Grenzen (in der Variable x, also untere [mm]x_u=f[/mm], obere [mm]x_o=g[/mm] einsetzen.
2)
Alternativ rechne die Grenzen von x in u um:
Mit [mm]u=\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}[/mm] ist für die untere Grenze [mm]x_u=f[/mm] dann [mm]u_u=\sqrt{a}f+\frac{b}{2\sqrt{a}}[/mm] und entsprechend für die obere Grenze [mm]u_o[/mm]
Diese Grenzen kannst du dann in die Stammfkt., die in der Variablen u oben steht, einsetzen.
Das erspart dir die Rücksubstitution
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ok ich entscheide mich für 1. Möglichkeit allerdings finde ich nichts wie ich den Term vereinfachen könnte..
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ok ich entscheide mich für 1. Möglichkeit allerdings
> finde ich nichts wie ich den Term vereinfachen könnte..
Ok, schreibe dir die Stfkt. in der resubstituierten Variable, also in x mal hin und vereinfache vor dem Einsetzen der Grenzen.
Addiere die Terme in der Wurzel, löse den Doppelbruch auf. Dann kürzt sich schön was weg.
Ähnlich verfahre in der Klammer vom [mm] $\arctan$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok... also ich berechne:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{a}} \bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}} [/mm]
=
[mm] \bruch{\wurzel{ac-b^2/4}}
[/mm]
dann arctan:
[mm] \bruch{\wurzel{a}x+\bruch{b}{2\wurzel{a}}{\wurzel{c-\bruch{b^2}{4a}}} }
[/mm]
Zähler: Hauptnenner: [mm] \bruch{\wurzel{a}x2\wurzel{a} +b}{2\wurzel{a}} [/mm] = [mm] \bruch{2x+b}{2\wurzel{a}}
[/mm]
Nenner: hauptnenner [mm] \wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}}
[/mm]
So dann habe ich einen Großen Doppelbruch: [mm] \bruch{\bruch{2x+b}{2\wurzel{a}}}{ \wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2x+b)\wurzel{4a}}{2\wurzel{a}\wurzel{4ac-b^2}}
[/mm]
dann kürzt sich [mm] \wurzel{4a} [/mm] weg und es steht da [mm] \bruch{2x+b}{\wurzel{4ac-b^2}}
[/mm]
Und dann??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ok... also ich berechne:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}} \bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}}[/mm]
> =
Ja, nur weiter, das vereinfacht sich zu [mm]\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}[/mm]
> [mm]\bruch{\wurzel{ac-b^2/4}}[/mm]
>
> dann arctan:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{a}x+\bruch{b}{2\wurzel{a}}{\wurzel{c-\bruch{b^2}{4a}}} }[/mm]
>
> Zähler: Hauptnenner: [mm]\bruch{\wurzel{a}x2\wurzel{a} +b}{2\wurzel{a}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2x+b}{2\wurzel{a}}[/mm]
>
> Nenner: hauptnenner [mm]\wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}}[/mm]
>
> So dann habe ich einen Großen Doppelbruch:
> [mm]\bruch{\bruch{2x+b}{2\wurzel{a}}}{ \wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(2x+b)\wurzel{4a}}{2\wurzel{a}\wurzel{4ac-b^2}}[/mm]
>
> dann kürzt sich [mm]\wurzel{4a}[/mm] weg und es steht da
> [mm]\bruch{2x+b}{\wurzel{4ac-b^2}}[/mm]
>
> Und dann??
Dann hast du eine etwas übersichtlichere Darstellung der Stfkt.
Nun noch die Grenzen einsetzen ...
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Di 24.05.2011 | | Autor: | sissenge |
ah ich hab einen fehler und zwar steht bei arctan > Hallo nochmal,
>
>
> > Ok... also ich berechne:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{a}} \bruch{1}{\wurzel{c-b^2/4a}}[/mm]
> > =
>
> Ja, nur weiter, das vereinfacht sich zu
> [mm]\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}[/mm]
>
> > [mm]\bruch{\wurzel{ac-b^2/4}}[/mm]
> >
> > dann arctan:
> >
> >
> [mm]\bruch{\wurzel{a}x+\bruch{b}{2\wurzel{a}}{\wurzel{c-\bruch{b^2}{4a}}} }[/mm]
>
> >
> > Zähler: Hauptnenner: [mm]\bruch{\wurzel{a}x2\wurzel{a} +b}{2\wurzel{a}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{2x+b}{2\wurzel{a}}[/mm]
da fehlt doch ein a im Zähler....
> >
> > Nenner: hauptnenner [mm]\wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}}[/mm]
> >
> > So dann habe ich einen Großen Doppelbruch:
> > [mm]\bruch{\bruch{2x+b}{2\wurzel{a}}}{ \wurzel{\bruch{4ac-b^2}{4a}}}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\bruch{(2x+b)\wurzel{4a}}{2\wurzel{a}\wurzel{4ac-b^2}}[/mm]
> >
> > dann kürzt sich [mm]\wurzel{4a}[/mm] weg und es steht da
> > [mm]\bruch{2x+b}{\wurzel{4ac-b^2}}[/mm]
> >
> > Und dann??
>
> Dann hast du eine etwas übersichtlichere Darstellung der
> Stfkt.
>
> Nun noch die Grenzen einsetzen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Di 24.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo sissenge,
ich bin jetzt erstmal weg, sehe aber, dass schachuzipus Dir gerade antwortet.
![[]](/images/popup.gif) Hier bekommst Du die Lösung angezeigt; wenn Du auf "Show steps" klickst, sogar mit Rechenweg.
Grüße
reverend
|
|
|
|
