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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Di 07.08.2012 | | Autor: | mathe456 |
Hallo,
wir hatten folgende Üungsaufgabe:
[mm] \integral_{\partial K_{3} (2i)}^{}{\bruch{1}{z^{2} + (\bruch{e\pi}{2})^{2}} dz}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z^{2} + (\bruch{e\pi}{2})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(z+i\bruch{e\pi}{2})(z-i\bruch{e\pi}{2})}
[/mm]
[mm] -i\bruch{e\pi}{2} [/mm] liegt aber nicht in [mm] K_{3} [/mm] (2i).
Wie muss ich nun die Cauchy Integralformel anwenden?
Betrachet man jetzt nur [mm] \bruch{1}{(z+i\bruch{e\pi}{2})}?
[/mm]
Außerdem habe ich noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe:
Sei G ein Gebiet und für f [mm] \in [/mm] H(G) gelte Im(f(z))=0. Zeige: f [mm] \equiv [/mm] konst.
Sei h(z):= exp (if(z)). Dann ist h holomorph und es gilt
|h(z)| = exp (Re(if(z))) = exp (-Im(f(z))) =1.
Warum gilt das zweite Gleichheitszeichen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 07.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wir hatten folgende Üungsaufgabe:
> [mm]\integral_{\partial K_{3} (2i)}^{}{\bruch{1}{z^{2} + (\bruch{e\pi}{2})^{2}} dz}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z^{2} + (\bruch{e\pi}{2})^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(z+i\bruch{e\pi}{2})(z-i\bruch{e\pi}{2})}[/mm]
>
> [mm]-i\bruch{e\pi}{2}[/mm] liegt aber nicht in [mm]K_{3}[/mm] (2i).
>
> Wie muss ich nun die Cauchy Integralformel anwenden?
> Betrachet man jetzt nur [mm]\bruch{1}{(z+i\bruch{e\pi}{2})}?[/mm]
Setze [mm] f(z):=\bruch{1}{(z+i\bruch{e\pi}{2})} [/mm] und berechne [mm] f(\bruch{i*e\pi}{2}) [/mm] mit der Cauchyschen Integralformel.
>
> Außerdem habe ich noch eine Frage zu einer anderen
> Aufgabe:
> Sei G ein Gebiet und für f [mm]\in[/mm] H(G) gelte Im(f(z))=0.
> Zeige: f [mm]\equiv[/mm] konst.
>
> Sei h(z):= exp (if(z)). Dann ist h holomorph und es gilt
> |h(z)| = exp (Re(if(z))) = exp (-Im(f(z))) =1.
> Warum gilt das zweite Gleichheitszeichen?
Für eine komplexe Zahl w ist Re(iw)=-Im(w)
FRED
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 08.08.2012 | | Autor: | mathe456 |
ok danke.
aber warum genau wählt man f(z) so? wie kommt man darauf?
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Hallo mathe456,
> ok danke.
> aber warum genau wählt man f(z) so? wie kommt man darauf?
Es ist doch:
[mm]\bruch{1}{(z+i\bruch{e\pi}{2})(z-i\bruch{e\pi}{2})}=\bruch{f\left(z\right)}{z-i\bruch{e\pi}{2}}[/mm]
Der rechte Ausdruck ist der Integrand in der Cauchyschen Integralformel.
Gruss
MathePower
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