Integral berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 07.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Moin, wie kann ich am besten
[mm] $\int_{[0,1]}(1+\cos(2\pi x))^n\, [/mm] dx$
berechnen? |
Ich dachte an substituieren, aber ich weiß nicht genau, welche Substitution am sinnigsten ist..
1) [mm] $u=1+\cos(2\pi [/mm] x)$
oder
2) [mm] $u=\cos(2\pi [/mm] x)$
oder
3) [mm] $u=\cos(2\pi [/mm] x)$
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Hi,
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> [mm]\int_{[0,1]}(1+\cos(2\pi x))^n\, dx[/mm]
Substitution stelle ich mir schwierig vor. Ein Weg der nicht schön ist, aber funktionieren dürfte ist die Verwendung von
[mm] \cos(2\pi x)=\frac{e^{2i \pi x}+e^{-2i \pi x}}{2}.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 07.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | eine andere frage noch
kann man sagen, dass das integral nicht-negativ ist? und wenn ja, wie könnte man das begründen?
vielleicht indem man sagt, dass der integrand nicht negativ ist, egal, wie man n aus den natürlichen zahlen wählt? |
...
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> eine andere frage noch
>
> kann man sagen, dass das integral nicht-negativ ist? und
> wenn ja, wie könnte man das begründen?
>
> vielleicht indem man sagt, dass der integrand nicht negativ
> ist, egal, wie man n aus den natürlichen zahlen wählt?
> ...
Genau das ist die Begründung.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 07.11.2012 | | Autor: | mikexx |
okay also dann versuche ich das integral mal mit deinem tipp auszurechnen, dankeschön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mi 07.11.2012 | | Autor: | mikexx |
ich komme dann erstmal auf
[mm] $\frac{1}{2^{n-1}}\left(\int_{[0,1]}e^{2\pi i x}\, dx-\int_{[0,1]}e^{-2\pi i x}\, dx\right)$.
[/mm]
Stimmt das bis jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich komme dann erstmal auf
>
> [mm]\frac{1}{2^{n-1}}\left(\int_{[0,1]}e^{2\pi i x}\, dx-\int_{[0,1]}e^{-2\pi i x}\, dx\right)[/mm].
>
>
> Stimmt das bis jetzt?
Nein.
$(1+cos(2 [mm] \pi x))^n= (1+\frac{e^{2i \pi x}+e^{-2i \pi x}}{2})^n. [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 07.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay. Und das ist dann das Gleiche wie
[mm] $\left(\frac{2+e^{2i\pi x}-e^{-2 i\pi x}}{2}\right)^n=\frac{(2+e^{2 i\pi x}-e^{-2 i\pi x})^n}{2^n}$
[/mm]
Und wenn ich dann das Integral berechne, hat man doch
[mm] $\frac{1}{2^n}\int_{[0,1]}(2+e^{2 i\pi x}-e^{-2 i\pi x})^n\, [/mm] dx$
Wie kann man da jetzt weitermachen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mi 07.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Okay. Und das ist dann das Gleiche wie
>
> [mm]\left(\frac{2+e^{2i\pi x}-e^{-2 i\pi x}}{2}\right)^n=\frac{(2+e^{2 i\pi x}-e^{-2 i\pi x})^n}{2^n}[/mm]
>
> Und wenn ich dann das Integral berechne, hat man doch
>
> [mm]\frac{1}{2^n}\int_{[0,1]}(2+e^{2 i\pi x}-e^{-2 i\pi x})^n\, dx[/mm]
>
> Wie kann man da jetzt weitermachen?
bist Du sicher, dass Du das von Hand ausrechnen willst? Ich habe Mathematica das mal berechnen lassen und das Ergebnis sieht nicht so aus, als ob das jemand von Hand berechnen wollte. Also wenns nicht unbedingt sein muss, würde ich mir das nochmal überlegen.
Gruß,
notinX
EDIT: Tut mir leid, das sollte eine Mitteilung, keine Antwort werden.
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