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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 So 23.06.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Zeigen Sie: $\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx}=\frac{\pi}{6}$ |
So lautet die ganze Aufgabe. In Vorlesung hatten wir die Formel $\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)} dx}=2\pi i\summe_{j=1}^{n}Res_f(z_j)$, wobei $z_1, \dots z_n$ Singularitäten von $f$ sind.
Die Singularitäten sind diese Pole erster Ordnung $\pm i, \pm 2i$.
$\Rightarrow Res_f(i)=\limes_{x\rightarrow i}\frac{x-i}{(x^2+1)(x^2+4)}=\limes_{x\rightarrow i}\frac{1}{(x+i)(x^2+4)}=\frac{1}{6i}$
Analog erhalte ich -\frac{1}{6i} und \pm \frac{1}{12i}.
DAs summiert sich ja aber auf zu 0. Demnach wäre ja aber $\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx}=0$ und nicht \frac{\pi}{6}$
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 So 23.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx}=\frac{\pi}{6}[/mm]
>
> So lautet die ganze Aufgabe. In Vorlesung hatten wir die
> Formel [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)} dx}=2\pi i\summe_{j=1}^{n}Res_f(z_j)[/mm],
> wobei [mm]z_1, \dots z_n[/mm] Singularitäten von [mm]f[/mm] sind.
Das stimmt so nicht !
In obiger Formel werden nur die Sing. [mm] z_j [/mm] aufgenommen mit [mm] Im(z_j)>0
[/mm]
FRED
>
>
> Die Singularitäten sind diese Pole erster Ordnung [mm]\pm i, \pm 2i[/mm].
> [mm]\Rightarrow Res_f(i)=\limes_{x\rightarrow i}\frac{x-i}{(x^2+1)(x^2+4)}=\limes_{x\rightarrow i}\frac{1}{(x+i)(x^2+4)}=\frac{1}{6i}[/mm]
>
> Analog erhalte ich [mm]-\frac{1}{6i}[/mm] und [mm]\pm \frac{1}{12i}.[/mm]
>
> DAs summiert sich ja aber auf zu 0. Demnach wäre ja aber
> [mm]$\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx}=0$[/mm]
> und nicht [mm]\frac{\pi}{6}$[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 23.06.2013 | | Autor: | saendra |
Achso, das habe ich ganz übersehen, vielen Dank! 
Das heißt, wenn es nur Singularität mit $ [mm] Im(z_j)<0 [/mm] $ gibt, dann ist das Integral immer 0?
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Hi,
> Achso, das habe ich ganz übersehen, vielen Dank!
>
> Das heißt, wenn es nur Singularität mit [mm]Im(z_j)<0[/mm] gibt,
> dann ist das Integral immer 0?
Gibt es Gleichungen, die immer nur Lösungen haben mit [mm] Imn(z_j)<0 [/mm] ?
Schaut man sich z.B. Polynome an, dann gibt es immer so viele Lösungen wie der Grad des Polynoms. Diese haben dann grafisch gesehen immer einen bestimmten Winkel zueinander. Da liegt also immer etwas über null und unter null.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 23.06.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Zeigen Sie:
> [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} dx}=\frac{\pi}{6}
[/mm]
[mm] \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}=\bruch{1}{3}\bruch{1}{x^2+1}-\bruch{1}{3}\bruch{1}{x^2+4}
[/mm]
Jetzt verwenden das [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+1}} [/mm] dx=arctan(x) ist, dann kommt man auf das Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 23.06.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielen Danke für eure Hilfe!
Das ist auch eine gute Idee. Wenn ich es mit dem Residuum mache, dann gibt es ein Problem: Die Residuen der beiden Nullstellen in der Oberen Halbebene sind ja -\frac{1}{6i} und -\frac{1}{12i}, aufsummiert -\frac{3}{12i}=-\frac{1}{4i}. D.h. $ \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)} dx}=2\pi i\summe_{j=1}^{n}Res_f(z_j)= -\frac{\pi}{2}$ und nicht \frac{\pi}{6}.
Ich bin echt zu blöd dafür!
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Hallo
> Vielen Danke für eure Hilfe!
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> Das ist auch eine gute Idee. Wenn ich es mit dem Residuum
> mache, dann gibt es ein Problem: Die Residuen der beiden
> Nullstellen in der Oberen Halbebene sind ja [mm]-\frac{1}{6i}[/mm]
> und [mm]-\frac{1}{12i},[/mm] aufsummiert
> [mm]-\frac{3}{12i}=-\frac{1}{4i}.[/mm] D.h.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)} dx}=2\pi i\summe_{j=1}^{n}Res_f(z_j)= -\frac{\pi}{2}[/mm]
> und nicht [mm]\frac{\pi}{6}.[/mm]
nein, die Residuen sind [mm] \frac{i}{12} [/mm] und [mm] $-\frac{i}{6}$
[/mm]
Und damit:
[mm] \int...=2\pi{i}(\frac{i}{12}-\frac{i}{6})=2\pi{i}*\frac{-i}{12}=\frac{\pi}{6}
[/mm]
>
> Ich bin echt zu blöd dafür!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 So 23.06.2013 | | Autor: | saendra |
Vielen lieben Dank!
Ihr seid echt großartig!!
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