Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] I_k=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{x^ke^x dx}.
[/mm]
Zeige [mm] I_k>I_{k+1}.
[/mm]
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Für das Integral [mm] I_k [/mm] habe ich: [mm] \bruch{e}{2(k+1)}-\bruch{1}{k+1}I_{k+1}.
[/mm]
O.k. dann gilt [mm] I_k>I_{k+1} \gdw \bruch{e}{2(k+1)}-\bruch{1}{k+1}I_{k+1}>I_{k+1}.
[/mm]
Stimmt das soweit? Irgendwie bin ich mir da nicht sicher.
Hmm. Die letzte Ungl. bringt mir doch legendlich ne Abschätzung von [mm] I_{k+1}. [/mm] Was bringt mir das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pleaselook!
> O.k. dann gilt [mm]I_k>I_{k+1} \gdw \bruch{e}{2(k+1)}-\bruch{1}{k+1}I_{k+1}>I_{k+1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das kann man nun umformen zu: [mm] $I_{k+1} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{e}{2*(k+2)}$ [/mm] .
Und das sollte man nun z.B. mittels vollständiger Induktion nachweisen.
Gruß
Loddar
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Gut soweit hab ich das auch verstanden.
Was ich noch nich ganz verstanden habe, ist in wie weit ich damit [mm] I_k>I_{k+1} [/mm] beurteilen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:25 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pleaselook!
Die von mir genannte Ungleichung wurde doch unmittelbar aus der Ungleichung [mm] $I_k [/mm] \ > \ [mm] I_{k+1}$ [/mm] gebildet.
Wenn also [mm] $I_{k+1} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{e}{2*(k+2)}$ [/mm] gilt, dann auch [mm] $I_k [/mm] \ > \ [mm] I_{k+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Gut IA und IB sind klar.
IS: [mm] I_{k+2}=\bruch{1}{2}\integral_0^1{x^{k+2}e^x}dx=\bruch{e}{2}-(k+2)I_{k+1}
[/mm]
irgendwas mache ich falsch. Eigentlich müßte ich doch jetzt [mm] I_{k+1} [/mm] mit [mm] I_{k+1}<....s.o. [/mm] abschätzen und dann auf [mm] \bruch{e}{2(k+3)} [/mm] kommen.
Help!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 So 11.11.2007 | | Autor: | pleaselook |
Kann mal bitte jemand schaun, wo mein letzter Ansatz dran scheitert.
Ich muß das relativ schnell fertig bekommen und brauche dringend nen Tipp.
Danke.
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Zeigen muß ich, dass [mm] I_{k+1}<\bruch{e}{2(k+2)}
[/mm]
Ok. Hier nochmal mein Induktionsschluß-Ansatz im Detail:
[mm] I_{k+2}=\bruch{1}{2}\int_0^1{x^{k+2}e^x}dx=\bruch{e}{2}-(k+2)I_{k+1}
[/mm]
Irgendwie weiß ich nicht wie ich das zu Ende bekomme wenn ich jetzt die Induktionsvoraussetzung anwende [mm] I_{k+1}<.... [/mm] und irgendwie muß ich doch auch auf die Abschätzung [mm] <\bruch{e}{2(k+3)} [/mm] kommen.
Ich brauch hier echt mal nen Gedankenblitz. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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