Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Sa 27.04.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | a)
Es sei f stetig differenzierbar. Ermitteln Sie eine Stammfunktion von g mit [mm] g(x)=\bruch{f'(x)}{sin(f(x))cos(f(x))} [/mm] .
Hinweis: Substituiere u=tan(f(x))
b)
Berechnen Sie das Integral
[mm] F(x)=\int_{1}^{x} \bruch{dt}{1+\wurzel{t}+\wurzel{1+t}} [/mm] , x>0
Hinweis:Substituieren Sie zunächst [mm] t=sinh^{2}(u) [/mm] und anschließend [mm] w=e^{u}. [/mm] |
Hallo zusammen,
Aufgabenteil a) habe ich hinbekommen. Ich würde den gerne zur Kontrolle mal vorstellen:
[mm] dx=cos^{2}(f(x))\bruch{1}{f'(x)}du
[/mm]
Damit ist
[mm] \int_{}^{}g(x)dx=\int_{}^{}\bruch{cos(f(x))}{sin(f(x))}du=\int_{}^{}\bruch{1}{u}du=ln|u|+c
[/mm]
Rücksubstitution liefert dann:
G(x)=ln|tan(f(x))|+c
Bei b) habe ich große Probleme.
Also zunächst mal eine Frage vorab:
Kann ich hier das unbestimmte Integral berechnen und dann die Grenzen einsetzen? Und die zweite Frage wäre, ob mir die Bedingung x>0 erlaubt Beträge beim Wurzelziehen wegzulassen? Also z.B
[mm] \int_{1}^{x} \bruch{2sinh(u)cosh(u)}{1+\wurzel{sinh^{2}(u)}+\wurzel{1+sinh^{2}(u)}}du=\int_{1}^{x} \bruch{2sinh(u)cosh(u)}{1+sinh(u)+\wurzel{1+sinh^{2}(u)}}du
[/mm]
Oder muss ich dann doch Beträge setzen?
MfG
Marmik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo marmik,
> a)
> Es sei f stetig differenzierbar. Ermitteln Sie eine
> Stammfunktion von g mit
> [mm]g(x)=\bruch{f'(x)}{sin(f(x))cos(f(x))}[/mm] .
> Hinweis: Substituiere u=tan(f(x))
> b)
> Berechnen Sie das Integral
> [mm]F(x)=\int_{1}^{x} \bruch{dt}{1 \wurzel{t} \wurzel{1 t}}[/mm] ,
> x>0
> Hinweis:Substituieren Sie zunächst [mm]t=sinh^{2}(u)[/mm] und
> anschließend [mm]w=e^{u}.[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> Aufgabenteil a) habe ich hinbekommen. Ich würde den gerne
> zur Kontrolle mal vorstellen:
>
> [mm]dx=cos^{2}(f(x))\bruch{1}{f'(x)}du[/mm]
> Damit ist
> [mm]\int_{}^{}g(x)dx=\int_{}^{}\bruch{cos(f(x))}{sin(f(x))}du=\int_{}^{}\bruch{1}{u}du=ln|u|+c[/mm]
> Rücksubstitution liefert dann:
> G(x)=ln|tan(f(x))|+c
Das sieht gut aus.
> Bei b) habe ich große Probleme.
>
> Also zunächst mal eine Frage vorab:
> Kann ich hier das unbestimmte Integral berechnen und dann
> die Grenzen einsetzen?
Wenn das unbestimmte Integral zu berechnen ist, kannst Du so vorgehen.
> Und die zweite Frage wäre, ob mir
> die Bedingung x>0 erlaubt Beträge beim Wurzelziehen
> wegzulassen? Also z.B
> [mm]\int_{1}^{x} \bruch{2sinh(u)cosh(u)}{1 \wurzel{sinh^{2}(u)} \wurzel{1 sinh^{2}(u)}}du=\int_{1}^{x} \bruch{2sinh(u)cosh(u)}{1 sinh(u) \wurzel{1 sinh^{2}(u)}}du[/mm]
>
> Oder muss ich dann doch Beträge setzen?
Hm. Gute Frage. *denk*
Soweit ich sehe, kannst Du die Beträge hier tatsächlich weglassen, da im Ergebnis wohl auch nur irgendwelche Terme mit [mm] \sinh{(u)} [/mm] und [mm] \cosh{(u)} [/mm] vorkommen werden. Wie sollte da auch -u ins Funktionsargument kommen?
Und für x>0 gilt ja [mm] \cosh{(x)}>\sinh{(x)}>0
[/mm]
Hast Du Monster ansonsten inzwischen bezwungen? Ich wäre geneigt, Wolframs Drachentöter zu buchen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 27.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Reverend,
Ich habe es probiert, aber ich bin mir an vielen Stellen unsicher.
Also wie gesagt war mein Plan zuerst das unbestimmte Integral zu berechnen und danach die Grenzen einzusetzen.
Mit der Substitution, die in der Aufgabenstellung gegeben ist, ergibt sich:
dt=2sinh(u)cosh(u)du
[mm] 2\int_{}^{} \bruch{sinh(u)cosh(u)}{1+sinh(u)+cosh(u)}du=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{(e^{u}-e^{-u})(e^{u}+e^{-u})}{\bruch{e^{u}-e^{-u}+e^{u}+e^{-u}+2}{2}}du=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{e^{2u}-e^{-2u}}{e^{u}+1}du=\bruch{1}{2}[w-ln(w+1)+c_{1}]-\bruch{1}{2}[ln(w)+\bruch{1}{w}-\bruch{1}{2w^2}-ln(w+1)+c_2]
[/mm]
Dann habe ich substituiert: [mm] w=e^{u} [/mm] dann ist [mm] du=\bruch{1}{w}dw
[/mm]
Und dann ergibt sich das Integral zu:
[mm] \bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w^{2}-\bruch{1}{w^2}}{w+1}\bruch{1}{w}dw=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w^{4}-1}{w^{3}(w+1)}dw=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w}{w+1}dw-\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{1}{w^{3}(w+1)}dw
[/mm]
Das habe ich dann mit Partialbruchzerlegung umgeschrieben :
[mm] \bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w}{w+1}dw-\bruch{1}{2}\int_{}^{}[\bruch{1}{w}-\bruch{1}{w^2}+\bruch{1}{w^3}-\bruch{1}{w+1}]dw=\frac{1}{2}*[w-ln(w+1)+c_1]-\frac{1}{2}*[ln(w)+\frac{1}{w}-\frac{1}{2w^2}-ln(w+1)+c_2] [/mm] mit [mm] w=e^u:
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}[(e^u-ln(e^u+1)+c_1)-ln(e^u)-\frac{1}{e^u}+\frac{1}{2e^{2u}}+ln(e^u+1)-c_2]=\frac{1}{2}*[e^u-u-\frac{1}{e^u}+\frac{1}{2e^{2u}}+C]
[/mm]
Beim nächsten Schritt bin ich mir etwas unsicher. Kann ich jetzt [mm] u=arsinh(\sqrt{t}) [/mm] einsetzten?
MfG
Marmik
|
|
|
| |
|
Hallo marmik,
> Hallo Reverend,
> Ich habe es probiert, aber ich bin mir an vielen Stellen
> unsicher.
>
> Also wie gesagt war mein Plan zuerst das unbestimmte
> Integral zu berechnen und danach die Grenzen einzusetzen.
>
> Mit der Substitution, die in der Aufgabenstellung gegeben
> ist, ergibt sich:
> dt=2sinh(u)cosh(u)du
>
> [mm]2\int_{}^{} \bruch{sinh(u)cosh(u)}{1+sinh(u)+cosh(u)}du=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{(e^{u}-e^{-u})(e^{u}+e^{-u})}{\bruch{e^{u}-e^{-u}+e^{u}+e^{-u}+2}{2}}du=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{e^{2u}-e^{-2u}}{e^{u}+1}du=\bruch{1}{2}[w-ln(w+1)+c_{1}]-\bruch{1}{2}[ln(w)+\bruch{1}{w}-\bruch{1}{2w^2}-ln(w+1)+c_2][/mm]
>
> Dann habe ich substituiert: [mm]w=e^{u}[/mm] dann ist
> [mm]du=\bruch{1}{w}dw[/mm]
>
> Und dann ergibt sich das Integral zu:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w^{2}-\bruch{1}{w^2}}{w+1}\bruch{1}{w}dw=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w^{4}-1}{w^{3}(w+1)}dw=\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w}{w+1}dw-\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{1}{w^{3}(w+1)}dw[/mm]
>
> Das habe ich dann mit Partialbruchzerlegung umgeschrieben
> :
>
> [mm]\bruch{1}{2}\int_{}^{}\bruch{w}{w+1}dw-\bruch{1}{2}\int_{}^{}[\bruch{1}{w}-\bruch{1}{w^2}+\bruch{1}{w^3}-\bruch{1}{w+1}]dw=\frac{1}{2}*[w-ln(w+1)+c_1]-\frac{1}{2}*[ln(w)+\frac{1}{w}-\frac{1}{2w^2}-ln(w+1)+c_2][/mm]
> mit [mm]w=e^u:[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2}[(e^u-ln(e^u+1)+c_1)-ln(e^u)-\frac{1}{e^u}+\frac{1}{2e^{2u}}+ln(e^u+1)-c_2]=\frac{1}{2}*[e^u-u-\frac{1}{e^u}+\frac{1}{2e^{2u}}+C][/mm]
> Beim nächsten Schritt bin ich mir etwas unsicher. Kann
> ich jetzt [mm]u=arsinh(\sqrt{t})[/mm] einsetzten?
>
Ja.
> MfG
> Marmik
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 28.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo nochmal,
Irgendwie ist immer noch ein Problem bei der Stammfunktion, da Wolframalpha mir was anderes ausspuckt.
Laut Wolframalpha lautet die Stammfunktion so:
[mm] \int_{}^{}\bruch{1}{1+\wurzel{t}+\wurzel{t+1}}dt=\bruch{1}{2}[t-\wurzel{t(t+1)}+2\wurzel{t}-arsinh(\wurzel{t})]+c
[/mm]
Meine Lösung sieht aber so aus:
[mm] \bruch{1}{2}[\wurzel{t}+\wurzel{t+1}-\bruch{1}{\wurzel{t}+\wurzel{t+1}}+\bruch{1}{2(\wurzel{t}+\wurzel{t+1})^{2}}-arsinh(\wurzel{t})]+c
[/mm]
Gebe ich
[mm] \wurzel{t}+\wurzel{t+1}-\bruch{1}{\wurzel{t}+\wurzel{t+1}}+\bruch{1}{2(\wurzel{t}+\wurzel{t+1})^{2}} [/mm] bei Wolframalpha ein kommt da [mm] t-\wurzel{t(t+1)}+2\wurzel{t}+\bruch{1}{2} [/mm] raus.
Weiß vielleicht jemand, wo mein Fehler ist? Den Weg zu meiner Lösung befindet sich ja in meiner vorherigen Frage. Habe dann halt nur noch die Rücksubstitution von u gemacht mit [mm] u=arsinh(\wurzel{t}).
[/mm]
Und [mm] arsinh(\wurzel{t})=ln(\wurzel{t}+\wurzel{t+1}).
[/mm]
Was ich jedoch nur bei den Termen mit [mm] e^{u} [/mm] verwendet habe.
MfG
marmik
|
|
|
| |
|
Hallo marmik,
> Hallo nochmal,
>
> Irgendwie ist immer noch ein Problem bei der Stammfunktion,
> da Wolframalpha mir was anderes ausspuckt.
> Laut Wolframalpha lautet die Stammfunktion so:
>
> [mm]\int_{}^{}\bruch{1}{1+\wurzel{t}+\wurzel{t+1}}dt=\bruch{1}{2}[t-\wurzel{t(t+1)}+2\wurzel{t}-arsinh(\wurzel{t})]+c[/mm]
>
> Meine Lösung sieht aber so aus:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[\wurzel{t}+\wurzel{t+1}-\bruch{1}{\wurzel{t}+\wurzel{t+1}}+\bruch{1}{2(\wurzel{t}+\wurzel{t+1})^{2}}-arsinh(\wurzel{t})]+c[/mm]
>
> Gebe ich
> [mm]\wurzel{t}+\wurzel{t+1}-\bruch{1}{\wurzel{t}+\wurzel{t+1}}+\bruch{1}{2(\wurzel{t}+\wurzel{t+1})^{2}}[/mm]
> bei Wolframalpha ein kommt da
> [mm]t-\wurzel{t(t+1)}+2\wurzel{t}+\bruch{1}{2}[/mm] raus.+
>
> Weiß vielleicht jemand, wo mein Fehler ist? Den Weg zu
> meiner Lösung befindet sich ja in meiner vorherigen Frage.
> Habe dann halt nur noch die Rücksubstitution von u gemacht
> mit [mm]u=arsinh(\wurzel{t}).[/mm]
> Und [mm]arsinh(\wurzel{t})=ln(\wurzel{t}+\wurzel{t+1}).[/mm]
> Was ich jedoch nur bei den Termen mit [mm]e^{u}[/mm] verwendet
> habe.
>
Deine Lösung stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> MfG
> marmik
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mo 29.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Mathepower,
Danke für deine Antwort. Ich habe auch einen alternativen Lösungsweg gefunden, der mir etwas leichter erscheint. Ich stell ihn mal in Kurzform vor:
[mm] \int_{}^{}\bruch{1}{1+\wurzel{t}+\wurzel{1+t}}dt=\integral_{}^{}\bruch{1+\wurzel{t}-\wurzel{t+1}}{2\wurzel{t}}dt=\bruch{1}{2}t+\wurzel{t}-\int_{}^{}cosh^{2}(u)du [/mm] , mit [mm] t=sinh^{2}(u) [/mm]
dann das letzte Integral bestimmen zurücksubstituieren , vereinfachen und fertig.
Gruß
marmik
|
|
|
|
