Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Maiszeit |
Wie kann ich folgendes Integral berechnen?
[mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{e^{-a*x^{2}}-e^{-b*x^{2}}}{x} dx}, [/mm]
mit a,b>0.5
Anscheinend kann man die Stammfunktion nicht einfach so bestimmen, sondern muss das Integral auf einem Umweg bestimmen, aber wie? Hat jemand da eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Maiszeit,
ja schau dir mal die Ableitungen nach a und b an. Also bilde einfach mal [mm] \frac{d}{da}f [/mm] und [mm] \frac{d}{db}f.
[/mm]
Vielleicht fällt dir da schon etwas auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Maiszeit |
Hallo Richie,
die Ableitungen habe ich gebildet:
[mm] \bruch{d}{da} [/mm] f = x* [mm] e^{-a*x^{x^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{db} [/mm] f = x* [mm] e^{-b*x^{x^{2}}}
[/mm]
Leider fällt mir immer noch nichts auf, bis auf die Ähnlichkeit der Ableitungen. Daraus kann ich jedoch nichts schließen. Das sieht teilweise etwas nach der Eulerschen Identität für sinus und cosinus aus, aber dazu fehlt noch der imaginäre Teil.
Wenn man jetzt diese Ableitungen Integriert erhält man:
[mm] \bruch{d}{da} [/mm] F(a,b) = - [mm] \bruch{e^{-a*x^{2}}}{2a}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{db} [/mm] F(a,b) = - [mm] \bruch{e^{-b*x^{2}}}{2b}
[/mm]
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Hi,
ich glaube ich habe mich ein bisschen missverständlich ausgedrückt. Daher noch einmal:
Das zu berechnende Integral ist ja ein sogenanntes Parameterintegral. Wir können also das ganze auch so schreiben:
[mm] f(a,b)=\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{e^{-a\cdot{}x^{2}}-e^{-b\cdot{}x^{2}}}{x} dx}
[/mm]
Nun gilt aber für gute Parameterintegrale (also die üblichen Sachen mit existierender Konvergenz,...), dass man Integration und Differentiation vertauschen kann. Daher können wir so rechnen:
[mm] f_a(a,b)=\frac{d}{da}\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{e^{-a\cdot{}x^{2}}-e^{-b\cdot{}x^{2}}}{x} dx}=\integral_{0}^{\infty}\frac{d}{da}\left({ \bruch{e^{-a\cdot{}x^{2}}-e^{-b\cdot{}x^{2}}}{x} \right)dx}
[/mm]
Analog mit dem Parameter b.
Danach wird erst die eigentliche Integration über die Variable x ausgeführt. Anschließend folgt nur noch die Integration über die Parameter.
> Hallo Richie,
>
> die Ableitungen habe ich gebildet:
>
> [mm]\bruch{d}{da}[/mm] f = x* [mm]e^{-a*x^{x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{db}[/mm] f = x* [mm]e^{-b*x^{x^{2}}}[/mm]
Das stimmt doch hier nicht. Warum ist hier [mm] x^{x^2} [/mm] ??? Falsch differenziuert oder nur vertippt?
>
> Leider fällt mir immer noch nichts auf, bis auf die
> Ähnlichkeit der Ableitungen. Daraus kann ich jedoch nichts
> schließen. Das sieht teilweise etwas nach der Eulerschen
> Identität für sinus und cosinus aus, aber dazu fehlt noch
> der imaginäre Teil.
>
> Wenn man jetzt diese Ableitungen Integriert erhält man:
> [mm]\bruch{d}{da}[/mm] F(a,b) = - [mm]\bruch{e^{-a*x^{2}}}{2a}[/mm]
> [mm]\bruch{d}{db}[/mm] F(a,b) = - [mm]\bruch{e^{-b*x^{2}}}{2b}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Maiszeit |
selbstverständlich nur vertippt.
es muss
[mm] x*exp(-b*x^2) [/mm]
bzw.
[mm] x*exp(-a*x^2)
[/mm]
heißen.
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Ja zumindest fast ;) Da fehlt i-wie noch das Vorzeichen.
Gut, dann haben wir jetzt:
[mm] f_{a,b}(a,b)=\int_{0}^{\infty}-x\cdot{}exp(-a\cdot{}x^2) +x\cdot{}exp(-b\cdot{}x^2) [/mm] dx
Das kannst du jetzt ganz einfach integrieren. Danach musst du nur noch nach a und b integrieren. Das war es dann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Maiszeit |
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