Integral bilden < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Do 01.05.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{x^3}{\wurzel{9-x^2}}} [/mm] |
Wie kann die Funktion integrieren?
Ich bräuchte mal einen Tipp.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 01.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
substituiere zunächst $ x=3*sin(t) $, benutze später $ [mm] sin^3(t)=sin(t)*(1-cos^2(t)) [/mm] $.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 01.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Wie kommst du den auf sinus und cosinus?
Die Kommen doch in der Funktion gar nicht vor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 01.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
... noch nicht !
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Do 01.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Ich brauche ernsthafte Hilfe bei der Aufgabe.
Wenn du mir nicht helfen kannst meide bitte so unnötige Posts.
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Coxy,
> Ich brauche ernsthafte Hilfe bei der Aufgabe.
> Wenn du mir nicht helfen kannst meide bitte so unnötige
> Posts.
Sax will dir damit helfen. Er hat dir mit Absicht keine
Antwort gegeben. Geh den Fahrplan durch, dann wirst du
schnell merken worum es geht und wieso er dir keine di-
rekte Antwort gegeben hat, denn eigentlich solltest du
es nach diesen zwei Schritten selbst sehen.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Do 01.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Korrektur : Es war eine Antwort !
Sie war ernst gemeint und sollte den Fragesteller dazu ermutigen, die Hinweise, die ich in meinem ersten Beitrag gegeben habe, zu befolgen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Do 01.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Oh das habe ich nicht gemerkt, ich möchte mich entschuldigen.
Allerdings habe ich immer noch nicht verstanden auf was du mich Hinweisen wolltest.
Ich kann ja mal versuchen
[mm] u=x^3 [/mm] => dx= [mm] \bruch{du}{3x^2}
[/mm]
dann setze ich ein und erhalte
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{u}{\wurzel{9-x^2}}*\bruch{du}{3x^2}}
[/mm]
Nur das bringt mich ja kein Stück weiter oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Do 01.05.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]u=x^3[/mm]
> Nur das bringt mich ja kein Stück weiter oder?
warum nutzt du nicht den Hinweis, den man dir gegeben hat?
Den gibt man dir ja nicht ohne Grund.
Wenn du ernst gemeinte Hinweise grundlos ignoriert, kann und wird dir niemand weiterhelfen.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hi,
> Wie kommst du den auf sinus und cosinus?
Auf diese Frage will ich noch einmal antworten.
Letztlich geht es hier um diese Frage:
Wie sieht man, dass man hier mit trigonometrischen Funktionen substituieren soll?
Ziel ist es sicherlich, wenn man den Integranden sieht, diese "hässliche" Wurzel wegzubekommen. Dazu kramt man ein bisschen in Büchern - oder noch besser in seinem Kopf - und denkt an den trigonometrischen Phytagoras. Der lautet wie folgt:
[mm] \sin^2x+\cos^2x=1
[/mm]
Also wenn man ihn umstellt bekommt man
[mm] 1-\sin^2x=\cos^2x
[/mm]
Nun ziehen wir mal beiderseite noch die Wurzel:
[mm] \sqrt{1-\sin^2x}=\cos{x}
[/mm]
Das sieht doch unserm Integranden schon schamhaft ähnlich aus. Was stört noch? Ja, aus der Zahl 1 sollte noch eine 9 werden. Wie schaffen wir das? Ja, wir multiplizieren mal mit [mm] \sqrt{9}. [/mm] Dann haben wir
[mm] \sqrt{9}\sqrt{1-\sin^2x}=\sqrt{9}\cos{x}
[/mm]
Also
[mm] \sqrt{9-9\sin^2{x}}=3\cos{x}
[/mm]
bzw.
[mm] \sqrt{9-(3\sin{x})^2}=3\cos{x}
[/mm]
Und spätestens jetzt sieht man, wie man substituieren sollte. Nämlich genau mit dem vorgeschlagenen [mm] u=3\sin{x}
[/mm]
Wenn du solche Wurzelausdrücke siehst, dann sind zwei Sachen üblich (aber nicht immer (!!!) hilfreich):
1. Denke an den trigonometrischen Phytagoras und hoffe, dass du ihn anwenden kannst.
2. Ist der Wurzelausdruck [mm] \sqrt{y(x)}, [/mm] dann subsitutiere einfach so u(x)=y(x).
Manchmal helfen diese zwei Herangehensweisen. Sie sind aber keinesfalls ein Allzweckwaffe.
Liebe Grüße!
> Die Kommen doch in der Funktion gar nicht vor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Dazu kramt man ein bisschen in Büchern - oder noch besser in seinem Kopf -
suggeriert diese Antwort nicht, dass man selbst auf die Substitution kommen könnte ?
Wer von uns hat die denn von sich aus selbst gefunden ? Ich glaube, dass sie allen einmal gezeigt oder zumindest gesagt worden ist. Der gute alte Bronstein ist eben heute durch Mathe-Foren oder Integralrechner des Internets ersetzt.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Moin Sax,
es gibt Dinge, die kann ich mir einfach nicht merken. Manche trigonometrische Zusammenhänge gehören dazu. 
Ich will niemanden zwingen alles zu wissen. Um meinen Fahrlehrer zu zitieren: "Wissen ist, zu wissen wo es steht."
Wo man nun Ideen herbekommt ist mir ziemlich egal. Wer manche Identitäten nicht weiß, schaut halt nach.
Zum Thema Bronstein:
Wortwechsel zwischen Studenten und Seminarleiter (Dr. der Mathematik aus der Ukraine. Ein absolut sympathischer und hochkompetenter Mensch!):
Dr.: Wie lösen wir das Integral?
St.: Ach, da schaue ich eben in den Bronstein.
Dr.: Bronstein?! Was ist Bronstein?
St.: Ein Buch, wo gefühlte tausend Integral ausgewertet sind.
Dr.: Achja? Ach... Kein Wunder, dass die Studenten nix mehr wissen... :-/
Schon ziemlich witzig, leider aber auch wieder wahr.
Also in der [mm] \sum:
[/mm]
Ja, ich finde manche Formel sollte man einfach wissen, aber nein, ich verurteile niemanden, wenn er so manche nicht weiß.
Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Fr 02.05.2014 | | Autor: | hippias |
Wir werden die Frage sicher nicht loesen koennen (wobei ich mich aber eher auch zu denen zaehle, die meinen, dass man ein paar Dinge wissen sollte). Wenn man andererseits davon ausgeht, dass die Meinung, dass nur zu wissen, wo etwas steht, ohne es auswendig zu wissen, abtraeglich sei, schon sehr alt ist (siehe etwa die bekannte Stelle zur Lesekritik in Platons Phaidros), dann kann man nicht umhin festzustellen, dass es seit dem unseligen umsichgreifen der Lesekultur und der damit einhergehenden Abloesung der Gedaechtniskultur noch immer schoene Fortschritte gegeben hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Frage war
> Wie kommst du den auf sinus und cosinus?
und da lautet meine Antwort eben "Ich bin nicht drauf gekommen."
Jemand hat mir bei einem ähnlichen Integral gezeigt, wie es geht, und jetzt weiß ich eben, dass Integrale, die solche Wurzelterme enthalten, durch Substitution mit trigonometrischen Funktionen gelöst werden können.
Ergänzung, nachdem ich den Beitrag von Mathemak gelesen habe:
... und bin auf diesem Gleis so eingefahren, dass ich andere mögliche Substitutionen gar nicht mehr ausprobiere.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Fr 02.05.2014 | | Autor: | mathemak |
Hi!
> 1. Denke an den trigonometrischen Phytagoras und hoffe,
> dass du ihn anwenden kannst.
> 2. Ist der Wurzelausdruck [mm]\sqrt{y(x)},[/mm] dann subsitutiere
> einfach so u(x)=y(x).
>
3. [mm] $\sqrt{y(x)}$ [/mm] im Beispiel [mm] $\sqrt{9-x^2}$ [/mm] mit einer Substitution [mm] $u^2 [/mm] = [mm] 9-x^2$ [/mm] ist auch ein möglicher Weg, aber nicht so elegant, wie der unter Ausnutzung der trig. Funktionen!
[mm] $\int \frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}} \,\mathrm{d}\,x [/mm] = [mm] \int (u^2-9)\,\mathrm{d}\,u$ [/mm] mit einer Integrandenfunktion wie in der Schule.
Gruß
mathemak
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Vielen Dank erst ein mal für deine Mühe.
Allerdings weiß ich gar nicht wieso du über trigonometrische Funktionen sprichst wenn in der Funktion gar keine vorkommt.
Meine ursprüngliche Funktion ist ja [mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{x^3}{\wurzel{9-x^2}}}
[/mm]
Soll das nur ein Beispiel sein?
Am Abend ist mir noch eingefallen das man vielleicht [mm] u^2=9-x^2 [/mm] substituieren könnte.
|
|
|
| |
|
Hallo Coxy,
> Vielen Dank erst ein mal für deine Mühe.
> Allerdings weiß ich gar nicht wieso du über
> trigonometrische Funktionen sprichst wenn in der Funktion
> gar keine vorkommt.
Hm, man muss dir schon auch sagen, dass du bereits gegebene Antworten gründlicher durchlesen solltest. Zu deiner obigen Frage ist längst alles gesagt.
> Meine ursprüngliche Funktion ist ja
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{x^3}{\wurzel{9-x^2}}}[/mm]
> Soll das nur ein Beispiel sein?
> Am Abend ist mir noch eingefallen das man vielleicht
> [mm]u^2=9-x^2[/mm] substituieren könnte.
Und hast du es ausprobiert? Das sähe so aus:
[mm] u^2=9-x^2 \gdw
[/mm]
[mm] u=\pm\wurzel{9-x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\pm\bruch{x}{\wurzel{9-x^2}}
[/mm]
[mm] dx=\pm{du}*\bruch{\wurzel{9-x^2}}{x}
[/mm]
Abgesehen davon, dass du jetzt kein eindeutig bestimmetes Differenzial hast: wenn du damit in das Integral eingehst, dann dreht dir sozusagen die ganze Wurzel eine lange Nase, weil sie nämlich immer noch da ist. Es hilft also nichts, sich irgendwas zu denken, man muss es dann schon auch ausprobieren.
Es ist einfach so, dass bei vielen Integranden mit Quadratwurzeln eine Substitution der Form
sin(u)=x bzw. cos(u)=x
hilft, und zwar wegen
[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
Das wurde ja schon ausführlich dargelegt.
Ebenso kommen aus dem gleichen Grund die Hyperbelfunktionen zum Einsatz, also etwa
sinh(u)=x bzw. cosh(u)=x
Hier nutzt man deren Eigenschaft
[mm] cosh2(x)-sinh^2(x)=1
[/mm]
Vielleicht unterläuft dir bei der ganzen Integriererei auch ein weit verbreiteter Irrtum: die Integralrechnung ist nichts, wo man noch irgendwie mit Kochrezepten weiterkommt. Es geht ja damit los, dass viele integrierbare Funktionen überhaupt keine geschlossen darstellbare Stammfunktion besitzen. Die Theorie dahinter, die einem sagen würde, on diese oder jene Funktion eine geschlossen darstellbare Stammfunktion besitzt, diese Theorie ist etwas vom schwierigsten, was die Analysis zu bieten hat. Wie hat mal jemand gesagt:
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst.
Jetzt mach halt das, was schon geraten wurde: merke dir, dass die vorgeschlagene Substitution hier funktioniert hat, dann kannst du das beim nächsten Mal wieder in deine Überlegungen mit einbeziehen, wenn ein ähnliches Integral auftaucht.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Ich hab mir die Antworten jetzt mindestens 3 mal durchgelesen und hab immer noch keine Ahnung was die trigonometrischen Funktionen, welche relativ angenehm sind beim integrieren, mit meiner Funktion gemeinsam haben...
Ich weiß auch das es beim Integrieren kein Kochrezept gibt.
Nur ich habe keine Ahnung wie man diese Funktion integrieren kann.
Leider helfen mir die Beispiele mit den trigonometrischen Funktionen nicht.
Es fühlt sich an als ob ich nach dem Weg Frage und die Antwort bekomme Es ist viertel vor Eins.
Steckt in meiner Funktion zufällig eine trigonometrische Funktion die ich nicht sehe oder so etwas?
|
|
|
| |
|
Hallo,
in der aller, allerersten Antwort auf deine Frage steht eine Substitution die man machen kann um dieses Integral zu berechnen.
> $ [mm] x=3\cdot{}sin(t) [/mm] $, benutze später $ [mm] sin^3(t)=sin(t)\cdot{}(1-cos^2(t)) [/mm] $
Das ignorierst du nach wie vor geflissentlich.
> Leider helfen mir die Beispiele mit den trigonometrischen Funktionen nicht.
Ich sehe hier nirgends Bsp. mit trig. Funktionen.
> Steckt in meiner Funktion zufällig eine trigonometrische Funktion die ich nicht sehe oder so etwas?
Nein. Dennoch funktioniert die Substitution die angegeben wurde. Was du auch merken würdest, wenn du sie mal ausführen würdest statt dich mich Händen und Füßen dagegen zu wehren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Ich tue das ganz gewiss nicht geflissentlich!
Ich sehe einfach nicht wie mir Antwort helfen kann/soll/tut.
Ich finde es schade man immer nur auf die erste Antwort verwiesen wird.
ABER ich will mal versuchen zu machen was dort steht, auch wenn ich keine Ahnung habe was das soll...
x=3 sin(t)
[mm] dt=\bruch{dx}{3cos(t)}
[/mm]
Dann setze ich das in die Gleichung [mm] sin^3(t)=sin(t)\cdot{}(1-cos^2(t)) [/mm] ein
und erhalte
[mm] (\bruch{1}{3}x)^3=\bruch{1}{3}x*(1-cos^2(t))*\bruch{dx}{3cos(t)}
[/mm]
Nur was bringt mir das?
WAS soll ich hier erkennen?
Wo besteht der Zusammenhang zu meiner Aufgabe?
|
|
|
| |
|
> Ich tue das ganz gewiss nicht geflissentlich!
> Ich sehe einfach nicht wie mir Antwort helfen
> kann/soll/tut.
> Ich finde es schade man immer nur auf die erste Antwort
> verwiesen wird.
Eigentlich sollte dir das eher zu denken geben. Mehrere Leute verweisen dich darauf das so zu machen. Das ist doch ein ziemlich starkes Zeichen dafür das auch zu tun. Diese Substitution ist eine mögliche Herangehensweise an diese und ähnliche Aufgaben.
Und auch ich finde es schade, dass so oft darauf verwiesen werden musste.
> ABER ich will mal versuchen zu machen was dort steht, auch
> wenn ich keine Ahnung habe was das soll...
> x=3 sin(t)
> [mm]dt=\bruch{dx}{3cos(t)}[/mm]
> Dann setze ich das in die Gleichung
> [mm]sin^3(t)=sin(t)\cdot{}(1-cos^2(t))[/mm] ein
Wieso tut du das? Subsituiere den Term im Integral, darauf kannst du diese Gleichung anwenden.
> und erhalte
>
> [mm](\bruch{1}{3}x)^3=\bruch{1}{3}x*(1-cos^2(t))*\bruch{dx}{3cos(t)}[/mm]
> Nur was bringt mir das?
> WAS soll ich hier erkennen?
> Wo besteht der Zusammenhang zu meiner Aufgabe?
Frage: Weißt du wie man durch Substitution integriert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Ja das weiß ich aber ich komme immer noch nicht dieser Aufgabe klar.
Ich hab keine Möglichkeit gefunden etwas sinnvoll zu Substituieren.
Ich bedanke mich auch für die Tipps auch wenn ich NICHTs verstanden habe.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich rechne mal vor:
$$x= 3 \sin (t)$$ damit $$\frac{dx} {dt} =3 \cos(t)$$ und für den Integranden
$$\frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}=\frac{(3 \sin (t))^3}{\sqrt{9\cos^2(t)}$$.
Kommst du damit weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Das ist schon sehr sehr hilfreich vielen Dank.
Ich bin es noch nicht gewohnt das man x=3sin(t) substituiert, normalerweise macht man das ja immer anders herum.
Ich versuch mal für mich auf zu bröseln:
x=3sin(t)
[mm] \bruch{dt}{dx}=3cos(t) [/mm] => [mm] dx=\bruch{dt}{3cos(t)}
[/mm]
Natürlich behält man
[mm] sin^2(t)=1-cos^2(t) [/mm] bzw [mm] cos^2(t)=1-sin^2(t) [/mm] im Kopf
Dann setzen wir in unser Integral [mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{x^3}{\wurzel{9-x^2}}} [/mm] dx ein
und erhalten wenn ich nacheinander einsetze und umforme
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{\wurzel{9-x^2}}}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{\wurzel{9-(3sin(t))^2}}}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{\wurzel{9-9sin^2(t)}}}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{\wurzel{9-9(1-cos^2(t))}}}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{\wurzel{9cos^2(t))}}}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{3cos(t)}}
[/mm]
So nun muss ja noch dx einsetzen
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{(3sin(t))^3}{3cos(t)}}* \bruch{dt}{3cos(t)}
[/mm]
Also habe ich am Ende
[mm] \integral_{1}^{3}{\bruch{3sin(t)^3}{cos(t)^2}}*{dt}
[/mm]
Meine einzige Frage wäre noch:
Wie bestimme ich die Neuen Integral grenzen?
|
|
|
| |
|
Wie ich bereits schrieb:
[mm] $$\frac{dx}{dt} [/mm] = 3 [mm] \cos [/mm] (t)$$ nicht andersrum; Ferner gilt
[mm] $$(3\sin(t))^3=27 \sin (t)^3$$ [/mm] und
[mm] $$\sqrt{9\cos(t)^2}=3|\cos(t)|$$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Fr 02.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
durch denken
x=3sint x=1 t=? x=3 t=?
sollte zu schaffen sein.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Vielen Vielen Dank an alle.
Der Tipp ist wirklich genial, allerdings ist er auch sehr ungewohnt weswegen ich ihn zunächst nicht verstanden haben.
Ich möchte mich nochmals bei euch allen Bedanken, auch für eure Geduld.
Freundliche Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
nach dem ich alles vereinfacht habe ich folgendes Integral erhalten:
[mm] \integral_{0,34}^{\bruch{\pi}{2}}{27 sin^3(x) dx}
[/mm]
Das ist jetzt schon einfacher aber wie kann ich davon relativ einfach die Stammfunktion bilden?
|
|
|
| |
|
Hallo Coxy,
> Hallo,
> nach dem ich alles vereinfacht habe ich folgendes Integral
> erhalten:
> [mm]\integral_{0,34}^{\bruch{\pi}{2}}{27 sin^3(x) dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wenn die untere Grenze $\arcsin\left(\tfrac71}{3}\right)$ ist, stimmt das.
> Das ist
> jetzt schon einfacher aber wie kann ich davon relativ
> einfach die Stammfunktion bilden?
Wie es weitergehen kann, steht schon doppelt und dreifach hier im thread ...
Lies alles nochmal in Ruhe und du wirst den Hinweis sehen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Fr 02.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Dieses [mm]{\bruch{x^3}{\wurzel{9-x^2}}[/mm] ist doch dasselbe wie
[mm] x^{3}*(9-x^2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] =
[mm] (x^{-6})^{-\bruch{1}{2}}*(9-x^2)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] =
[mm] [(x^{-6})*(9-x^2)]^{-\bruch{1}{2}} [/mm] =
[mm] (9x^{-6}-x^{-4})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Sind die Umformungen so weit richtig, und wenn ja:
Gibt es da denn eine Regel für, wie man so etwas integriert?
Also, wenn man das Ergebnis kennt, müsste man das dann ja differenzieren, und obiges müsste dann wieder rauskommen. Ist es nicht so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Fr 02.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Trick wie man solche Integrale behandelt hat dir Sax im ersten post verraten.
weil [mm] sqrt{1-sin^2(t)}=cos(t) [/mm] ist ist das ein seeehr guter Rat. Warum probierst du es nicht mal aus? Auch dazu wurdest du aufgefordert.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Fr 02.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm]\integral_{1}^{3}{\bruch{x^3}{\wurzel{9-x^2}}}[/mm]
Wenn man nur die "nackte" Aufgabe sieht - da steht ja nicht, dass man es "mathematisch" lösen muss -, könnte das Ergebnis auch ganz einfach so aussehen:
Man nehme sich einen Taschenrechner, der so etwas kann, und tippe das Integral ein. Im Endeffekt kommt da ja eine Zahl raus, und genau diese Zahl gibt der Taschenrechner dann aus - und fertig.
Ich hatte neulich auch mal so eine ähnlich Aufgabe, wo bestimmt werden sollte, wo sich die Graphen der folgende Funktionen schneiden.
f(x)= sin(x) und g(x)=1.5*sin(x+1)+0.2
Wie will man das rauskriegen? = Die "Lösung" bestand einfach nur darin, dass man den Taschenrechner das machen lässt.
Der Schüler hatte aber vorher bestimmt eine halbe Stunde daran rumprobiert, bevor er auf diese (nicht gerade mathematische) Lösung gekommen war. Nämlich, als er sich den Text nochmals durchlas und feststellte, dass gar keine "mathematische" Lösung gefragt war.
Gibt es in diesem Fall überhaupt so eine, und falls Ja, woher soll man das wissen, wenn es nicht gefragt ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Gibt es in diesem Fall überhaupt so eine, und falls Ja,
> woher soll man das wissen, wenn es nicht gefragt ist?
In einer Mathematikaufgabe sollte man doch nach wie vor davon ausgehen, dass die Lösung auf mathematischem Weg zu gewinnen ist? Außerdem betreiben wir hier, soweit ich weiß, ein Matheforum.
Dass im Bereich Schule in diesem Zusammenhang immer mehr Unfug passiert, das wissen wir alle. Aber das müssen wir doch nicht auch noch hier fortgeschrieben haben?
Ich schreibe diesen Beitrag aus der dezidierten Meinung heraus, dass für meinen Geschmack solche Beiträge, gerade in einem Thread wo es auch um die richtige Motivation geht, für kontraproduktiv im Sinne unseres Forms halte. vorhilfe, das bedeutet für mich: versuchen zu helfen, so dass Nachhilfe unnötig wird, da eigenständiger Umgang mit dem Stoff möglich gemacht bzw. zumindest angeregt wurde.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 02.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> In einer Mathematikaufgabe sollte man doch nach wie vor
> davon ausgehen, dass die Lösung auf mathematischem Weg zu
> gewinnen ist?
Aber genau das war ja nicht der Fall. Die Aufgabe sollte gar nicht auf mathematischem Weg gelöst werden. Meines Erachtens war sie so nämlich gar nicht lösbar oder nur mit "Höherer Mathematik".
Also z.B. sin(x)=1.5*sin(x+1)+0.2 oder [mm] x^{2}=e^{x}
[/mm]
Aber der TR kriegt da immer eine Zahl raus (sofern es eine zahlenmäßige Lösung gibt). Und normalerweise "unlösbare" bestimmte Integrale löst er ebenfalls - vielleicht zählt er dazu einfach die Pixel und bestimmt auf diese Art die Fläche.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo rabilein,
ich finde deinen Einwand ok.
In der Schule gab es ja die guten Wörter: "nennen, begründen, zeigen, beweisen und berechnen"
Da wusste man, wann man zum Taschenrechner greifen durfte.
Aber: Die Frage wurde ja im FOrum "Hochschule" gepostet. Und da heißt es in der Regel: Es gibt gar keinen Taschenrechner 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Sa 03.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> In der Schule gab es ja die guten Wörter:
> "nennen, begründen, zeigen, beweisen und berechnen"
Genau.
Hier stand allerdings keines dieser Wörter, sondern ein bestimmtes Integral.
Letztendlich kommt da als Ergebnis eine Zahl raus.
Und wenn es lediglich um diese Zahl geht, dann wird man sie am schnellsten und einfachsten mit einem dafür geeigneten Taschenrechner ermitteln.
> Aber: Die Frage wurde ja im Forum "Hochschule" gepostet.
> Und da heißt es in der Regel: Es gibt gar keinen Taschenrechner
Okay, das hatte ich übersehen. Dann muss man eben in den sauren Apfel beißen und sich fragen, wie der alte Gauss wohl an dieser Stelle vorgegangen wäre.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Okay, das hatte ich übersehen. Dann muss man eben in den
> sauren Apfel beißen und sich fragen, wie der alte Gauss
> wohl an dieser Stelle vorgegangen wäre.
er hätte mit genau der Substitution integriert, die oben vorgeschlagen wurde...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ein anderer Ansatz.
Man könnte den Verdacht haben, daß die Stammfunktion von [mm]f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}[/mm] von der Form
[mm]F(x) = \left( 9 - x^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot p(x) \ \ \text{mit einem geeigneten Polynom} \ p(x) \ \text{vom Grad} \ n[/mm]
ist. Wenn man [mm]F(x)[/mm] differenziert, erhält man nämlich
[mm]F'(x) = \frac{(9-x^2) \cdot p'(x) - x \cdot p(x)}{\sqrt{9-x^2}}[/mm]
Das Polynom [mm](9-x^2) \cdot p'(x) - x \cdot p(x)[/mm] im Zähler hat dann den Grad [mm]n+1[/mm] (die höchsten Potenzen können sich wegen der Vorzeichen nicht gegenseitig wegheben). Die einzige Chance auf eine Lösung ist daher ein Polynom vom Grad 2. Man setzt daher
[mm]p(x) = ax^2 + bx + c[/mm]
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten [mm]a,b,c \in \mathbb{R}[/mm] an. Und jetzt hat man nur noch in
[mm](9-x^2) \cdot p'(x) - x \cdot p(x) = x^3[/mm]
einen Koeffizientenvergleich durchzuführen. Das führt auf ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen in den drei Unbekannten [mm]a,b,c[/mm]. Aber man hat Glück - es ist eindeutig lösbar:
[mm]a = - \frac{1}{3} \, , \ b = 0 \, , \ c = -6[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Sa 03.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet. Aber wenn es hinkommt, dann hätte ich genau auf so einen Ansatz getippt, und nicht auf den "Umweg"(?) über die Trigonometrie.
Integrieren ist doch das "Gegenteil" von Differenzieren. Also ist doch die Frage, welche Funktion man differenzieren muss, um auf die Ausgangsfunktion zu kommen.
Und das scheint eine Kombination aus Kettenregel und Produktregel zu sein.
Wenn sich die Aufgabe auf diese Weise lösen lässt, dann wäre doch bestimmt auch dem Fragesteller geholfen (der mit euren anfänglichen Hinweisen ja nicht viel anzufangen wusste)
|
|
|
| |
|
> Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet. Aber wenn es
> hinkommt, dann hätte ich genau auf so einen Ansatz
> getippt, und nicht auf den "Umweg"(?) über die
> Trigonometrie.
Das ist kein Umweg, sondern ein/der direkte Lösungsweg. In der Mathematik lassen sich Probleme oft dann lösen wenn man Ansätze/Methoden eines anderen Gebiets verwendet. Das ist dann kein Umweg, im Gegenteil es ist eine Abkürzung.
> Integrieren ist doch das "Gegenteil" von Differenzieren.
> Also ist doch die Frage, welche Funktion man differenzieren
> muss, um auf die Ausgangsfunktion zu kommen.
Das Wurzelziehen wird auch als Gegenteil vom Quadrieren bezeichnet (wohlgemerkt: ich schreibe bezeichnet, nicht ist. Mir ist nicht mal klar was genau in diesem Kontext "Gegenteil sein" überhaupt exakt bedeuten soll). Beim Wurzelziehen und Quadrieren verwendet man aber mitunter sehr veschiedene Methoden. So auch hier. Und Substitution ist auch nur die Kettenregel, der Ansatz im ersten Post würde sogar die Anforderungen erfüllen.
> Und das scheint eine Kombination aus Kettenregel und
> Produktregel zu sein.
>
> Wenn sich die Aufgabe auf diese Weise lösen lässt, dann
> wäre doch bestimmt auch dem Fragesteller geholfen (der mit
> euren anfänglichen Hinweisen ja nicht viel anzufangen
> wusste)
Viele Wege führen nach Rom. Ob dieser Ansatz hier hilfreicher gewesen wäre, wir wissen es nicht. Mit 20/20- hindsight lässt sich vieles sagen.
MMn liefert er einen schöneren Rechenweg, ist allerdings deutlich unintuitiver und spekulativer.
Warum der Fragesteller mit dem anfänglichem Hinweis nichts anfangen konnte steht wiederrum auf einem ganz anderen Blatt und hat mMn nichts mit dem Hinweis an sich zu tun.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Sa 03.05.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ich habe das jetzt doch mal durchgerechnet, wie Leopold_Gast das gemacht hat.
[mm] (9-x^{2})(2ax+b) [/mm] - [mm] x(ax^{2}+bx+c) [/mm] = [mm] x^{3}
[/mm]
Dann das alles ausmultiplizieren und zusammenfassen:
[mm] x^{3}(-3a-1) [/mm] + [mm] x^{2}(-2b) [/mm] + x(18-c) + 9b = 0
Nun geht man davon aus, dass jeder einzelne Summand NULL ist.
So kam Leopold_Gast dann auf seine vier Gleichungen mit den drei Unbekannten.
Das Integral wäre dann also [mm] (\bruch{1}{3}*x^{2}-6)*\wurzel{9-x^{2}}
[/mm]
> Viele Wege führen nach Rom. Ob dieser Ansatz hier
> hilfreicher gewesen wäre, wir wissen es nicht.
Es gibt sicherlich mehrere Lösungswege. Mir persönlich und wohl auch dem Fragesteller (darauf kommt es ja an!!!) ist der Ansatz von Leopold_Gast aber hilfreicher. Und zwar deshalb, weil er quasi den Weg des Differenzierens genau umgekehrt geht = das meinte ich mit "Gegenteil".
Das ist so ähnlich, als würde man sagen 5+7=12 , und dann von 12 aus den Weg wieder rückwärts geht zu 12=5+7.
Die Problematik beim Integrieren ist aber, dass 12 auch 1+11 oder 3.72+8.28 sein kann, also da muss man dann schon "tüfteln", wie sich das rückwärts wieder zusammensetzt. Aber wenn mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen - wie oben mit dem Gleichungssystem -, dann kann man doch zu einer Lösung kommen.
> Warum der Fragesteller mit dem anfänglichem Hinweis
> nichts anfangen konnte steht wiederrum auf einem ganz
> anderen Blatt und hat mMn nichts mit dem Hinweis an sich zu tun
Der Hinweis an sich war zwar richtig. Aber wenn man darin keinerlei Logik sieht, dann nützt einem so ein Hinweis nichts.
|
|
|
| |
|
Ich spreche mich nicht gegen den Vorschlag von Sax aus. Oftmals ist bei Termen mit [mm]\sqrt{a^2 - x^2}[/mm] die Substitution [mm]x = a \sin t[/mm] der beste und schnellste, vielleich sogar im wesentlichen einzige Weg.
Ich spreche mich nur dagegen aus, sich auf diesen Weg zu versteifen. Man kann es auch mal anders probieren. Und das habe ich hier getan. Daß es geklappt hat, war nicht von vorneherein klar. Es hätte zum Beispiel immer noch an der Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems am Schluß scheitern können.
Wenn man statt [mm]\frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}[/mm] die Funktion
[mm]f(x) = \frac{\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta}{\sqrt{9-x^2}}[/mm]
integrieren will, so sieht man leicht, daß mein Ansatz nur im Falle [mm]9 \beta + 2 \delta = 0[/mm] auf ein lösbares lineares Gleichungssystem führt. Das war hier wegen [mm]\beta = \delta = 0[/mm] gegeben.
|
|
|
|
