Integral durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | jedi84 |
| Aufgabe | Berechne folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\frac{x}{\wurzel{1+x}} dx} [/mm] |
Hallo,
ein ähnliches Integral wie in der Aufgabenstellung habe ich durch Substitution sehr einfach lösen können:
[mm] \integral_{0}^{\frac{4}{5}}{\frac{x}{\wurzel{1+x^2}} dx}
[/mm]
Da ist dann das x auch die Ableitung von dem, was unter der Wurzel steht (wenn man [mm] \frac{1}{2} [/mm] vor das Integral zieht und somit 2x erhält).
Bisher war es bei allen Aufgaben, die ich durch Substitution gelöst habe, so, dass man das Integral als [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))\cdot g'(x) dx} [/mm] schreiben konnte. Der Ansatz funktioniert hier aber nicht, oder?
Gruß Jens
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jens!
Substituiere hier $z \ := \ 1+x$ und bedenke, dass auch gilt: $x \ = \ z-1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 07.02.2008 | | Autor: | jedi84 |
Danke! Ich erinnere mich wieder, das war der Punkt, wo ich in der Vorlesung nicht mehr verstanden habe, was mit dem dx passiert.
Wird dx einfach zu dz und muss ich die Grenzen trotzdem nur in z=x+1 einsetzen? Dann wäre ich bei
[mm] \integral_{1}^{2}{\frac{z-1}{\wurzel{z}}dz}
[/mm]
Dann habe ich aber noch immer das Problem, dass nirgends eine Funktion und ihre Ableitung stehen.
Oder wird aus dx dann d(z-1)? Dann stünden da aber zwei "d" - an sowas kann ich mich jedenfalls nicht erinnern.
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Hallo Jens!
> Wird dx einfach zu dz
Aus $z \ = \ x+1$ folgt ja: $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ (x+1)' \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ dz$ .
> und muss ich die Grenzen trotzdem nur in z=x+1 einsetzen?
> Dann wäre ich bei [mm]\integral_{1}^{2}{\frac{z-1}{\wurzel{z}}dz}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich aber noch immer das Problem, dass nirgends
> eine Funktion und ihre Ableitung stehen.
Zerlege den Bruch und integriere dann termweise:
[mm] $$\bruch{z-1}{\wurzel{z}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{z}{\wurzel{z}}-\bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{z}-\bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{2}}-z^{-\bruch{1}{2}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 07.02.2008 | | Autor: | jedi84 |
Danke! Aber da hätte ich wohl selbst drauf kommen sollen/können/müssen...
Bin jetzt auch bei der richtigen Lösung angekommen und habe trotzdem noch eine Frage:
Wenn ich die Stammfunktionen zu den einzelnen Termen berechnet habe, ist es ja egal, ob ich z stehen lasse und die neuen Grenzen einsetze oder z wieder durch x+1 ersetze und die alten Grenzen einsetze. Jedenfalls kommt in beiden Fällen die gleiche Lösung heraus.
Falls gefordert ist, nur die Stammfunktion anzugeben, würde ich also nur noch diese Ersetzung vornehmen und wäre fertig, oder?
Danke nochmal, hast mir sehr geholfen!
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Hallo Jens!
> Wenn ich die Stammfunktionen zu den einzelnen Termen
> berechnet habe, ist es ja egal, ob ich z stehen lasse und
> die neuen Grenzen einsetze oder z wieder durch x+1 ersetze
> und die alten Grenzen einsetze.
Diese beiden Möglichkeiten gibt es bei bestimmten Integralen ...
> Falls gefordert ist, nur die Stammfunktion anzugeben,
> würde ich also nur noch diese Ersetzung vornehmen und wäre
> fertig, oder?
Richtig erkannt. Für die Stammfunktion musst Du wieder zurück in die urspüngliche Variable umwandeln ("resubstituieren") ...
Gruß vom
Roadrunner
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