Integral e^-x cosx dx < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 04.05.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo Leute,
ich brauch mal an ein paar stellen in einer lösung eure hilfe:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}e^{-x} [/mm] cosx dx= [mm] \integral_{0}^{\infty}e^{-x} \bruch{1}{2}(e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix})dx=$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}(e^{x(i-1)} [/mm] + [mm] e^{x(-i-1)} [/mm] )dx=$
woher kommt hier das Minus vor der ersten [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm]
[mm] $\bruch{-1}{2} [\bruch{1}{i-1}e^{x(i-1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{i+1}e^{x(-i-1)}]=$
[/mm]
wie kommen hier die zwei Brüche in der Klammer zustande ???
[mm] $\bruch{-1}{2} [\bruch{i+1}{2} e^{x(i-1)} [/mm] - [mm] \bruch{i-1}{2}e^{x(-i-1)}]=$
[/mm]
[mm] $\bruch{-1}{2} [e^{-x} (\bruch{i+1}{2}e^{ix} [/mm] - [mm] \bruch{i-1}{2}e^{-ix })]=$
[/mm]
wieso ist das Minus vor dem ersten Bruch weg? und wie kommt der Inhalt der Klammer zustande???
[mm] $\bruch{1}{2} [e^{-x} (\bruch{1}{2}(e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix} [/mm] ) - [mm] \bruch{1}{2i}(e^{ix} [/mm] - [mm] e^{-ix}))]=$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2} [e^{-x}(sinx-cosx)] [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
vielen dank für eure hilfe!!
Edit: Ich habe mal die Formeln in Ordnung gebracht - Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hallo Leute,
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> ich brauch mal an ein paar stellen in einer lösung eure
> hilfe:
>
> [mm]\integral_{0}^{infty}e^-^x[/mm] cosx dx=
> [mm]\integral_{0}^{infty}e^-^x \bruch{1}{2}(e^i^x[/mm] +
> [mm]e^-^i^x)dx=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{infty}(e^x(^i^-^1^)[/mm] +
> [mm]e^x(^-^i^-^1^)[/mm] )dx=
>
> woher kommt hier das Minus vor der ersten [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{-1}{2} [\bruch{1}{i-1}e^x(^i^-^1^)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{i+1}e^x(^-^i^-^1^)]=[/mm]
>
> wie kommen hier die zwei Brüche in der Klammer zustande
> ???
> [mm]\bruch{-1}{2} [\bruch{i+1}{2} e^x(^i^-^1^)[/mm] -
> [mm]\bruch{i-1}{2}e^x(^-^i^-^1^)]=[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1}{2}[/mm] [e^-^x [mm](\bruch{i+1}{2}e^i^x[/mm] -
> [mm]\bruch{i-1}{2}e^-^i^x[/mm] )]=
>
> wieso ist das Minus vor dem ersten Bruch weg? und wie kommt
> der Inhalt der Klammer zustande???
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [e^-^x [mm](\bruch{1}{2}(e^i^x[/mm] + [mm]e^-^i^x[/mm] ) -
> [mm]\bruch{1}{2i}(e^i^x[/mm] - [mm]e^-^i^x))]=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [e^-^x(sinx-cosx)] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> vielen dank für eure hilfe!!
Hi,
ich schlage eine andere Lösung vor:
nach partielle Integragration:
u = cosx
du = -sinx
v' = [mm] e^{-x}
[/mm]
v= [mm] -e^{-x}
[/mm]
[mm] \integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] = [mm] -e^{-x}cosx [/mm] - [mm] \integral{e^{-x}sinx dx}
[/mm]
noch mal partielle Integration:
u = sinx
du = cosx
v' = [mm] e^{-x}
[/mm]
v = [mm] -e^{-x}
[/mm]
[mm] \integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] = [mm] -e^{-x}cosx [/mm] - [mm] \integral{e^{-x}sinx dx} [/mm] = [mm] -e^{-x}cosx [/mm] - ( [mm] -e^{-x}sinx [/mm] + [mm] \integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] = [mm] -e^{-x}cosx [/mm] + [mm] e^{-x}sinx [/mm] - [mm] \integral{e^{-x}cosx dx}
[/mm]
ich schreibe noch mal ohne Zwischenberechnung:
[mm] \integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] = [mm] -e^{-x}cosx [/mm] + [mm] e^{-x}sinx [/mm] - [mm] \integral{e^{-x}cosx dx}
[/mm]
in dieser Gleichung kann man [mm] \integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] nach links bringen :
[mm] 2\integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] = [mm] -e^{-x}cosx [/mm] + [mm] e^{-x}sinx [/mm]
[mm] \integral{e^{-x}cosx dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{-x}(sinx [/mm] - cosx )
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Hi!
Ich habe oben deine Formeln mal ein wenig gesäubert. Wenn der Exponent aus mehreren Zeichen besteht, solltest du den in geschweifte Klammern setzen, dann klappt das.
> Hallo Leute,
>
> ich brauch mal an ein paar stellen in einer lösung eure
> hilfe:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}e^{-x} cosx dx= \integral_{0}^{\infty}e^{-x} \bruch{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix})dx=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}(e^{x(i-1)} + e^{x(-i-1)} )dx=[/mm]
>
> woher kommt hier das Minus vor der ersten [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{-1}{2} [\bruch{1}{i-1}e^{x(i-1)} - \bruch{1}{i+1}e^{x(-i-1)}]=[/mm]
Das ist ein Fehler, da darf kein '-' sein.
>
> wie kommen hier die zwei Brüche in der Klammer zustande
> ???
> [mm]\bruch{-1}{2} [\bruch{i+1}{2} e^{x(i-1)} - \bruch{i-1}{2}e^{x(-i-1)}]=[/mm]
Hier wurden die beiden Brüche jeweils erweitert, um sie auf einen Nenner zu bringen. Dann steht unter dem rechten z.B. [mm] (i-1)(i+1)=i^2-1=-2. [/mm] Und dieses '-' kann man aus beiden Brüchen herausziehen und ganz links vor dein 1/2 setzen. Daher kommt das '-', das wurde nur zu früh hingeschrieben...
>
> [mm]\bruch{-1}{2} [e^{-x} (\bruch{i+1}{2}e^{ix} - \bruch{i-1}{2}e^{-ix })]=[/mm]
>
> wieso ist das Minus vor dem ersten Bruch weg? und wie kommt
> der Inhalt der Klammer zustande???
> [mm]\bruch{1}{2} [e^{-x} (\bruch{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix} ) - \bruch{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix}))]=[/mm]
>
Nun, der Term in der Klammer ist recht schnell zu verstehen. Zerlege die Brüche mal in zwei Summanden, also [mm] \frac{i+1}{2}=\frac{i}{2}+frac{1}{2} [/mm] . Dann hast du insgesamt 4 Terme in der Klammer, die du nun andersrum zusammenfasst.
Danach wurde das '-' mit in die Klammer gezogen, und der Bruch mit i drin mit i erweitert. Demnach hast du auch hier was übersehen:
[mm]\bruch{1}{2} [e^{-x} (-\bruch{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix} ) + \bruch{i}{2}(e^{ix} - e^{-ix}))]=[/mm]
[mm]\bruch{1}{2} [e^{-x} (-\bruch{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix} ) + \bruch{i^2}{2i}(e^{ix} - e^{-ix}))]=[/mm]
[mm]\bruch{1}{2} [e^{-x} (-\bruch{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix} ) - \bruch{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix}))][/mm]
Rechts steht der COS, links der SIN.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Fr 04.05.2007 | | Autor: | vivo |
vielen dank!!! etz ist alles klar!
eigentlich ganz klar ....
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