Integral einer Funktionenschar < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:44 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Fugre |
Hallo,
mit folgender Aufgabe habe ich leider einige Probleme und kann rechnerisch keine vernünftige Lösung finden.
Gegeben ist eine Funktionenschar [mm] $f_k(x)= \bruch{1}{k^2}x^3-x [/mm] $ . Die Kurven dieser Schar schließen mit einer Tangente eine bestimmte
Fläche ein (die Größe der Fläche können wir als bekannst sehen, wir können durch diese Information eine Unbekannte eliminieren).
Ein Schnittpunkt der Kurve und der Tangente stellt die 3. Nullstelle der Kurve dar, dieser Punkt heißt P. Die Tangente berührt die Kurve am Punkt
B.
So nun meine Ansätze:
(1) allgemeine Geraden/Tangentengleichung: $ [mm] t_k(x)=mx+b [/mm] .$
(2) Ermittlung der Nullstellen der Schar: $ [mm] N_1(-k/0) [/mm] $ , $ [mm] N_2(0/0) [/mm] $ und $ [mm] N_3(k/0) [/mm] $
(3) 3. Nullstelle ist P und ist Element der Kurve und der Tangente $ [mm] \rightarrow [/mm] t(k)=mk+b=0 $
(4) Der Punkt $ [mm] B(b/f_k(b)) [/mm] ist doppelte Nullstelle der Differenzfunktion $ [mm] \rightarrow f_k(b)=t_k(b) \wedge [/mm] f'_k(b)=t'_k(b) $
Somit haben wir, wenn wir den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche in einem bestimmten Intervall als bestimmt betrachten,
4 Gleichungen und somit 4 Unbekannte.
(1) $ [mm] t_k(k)=mk+b=0 [/mm] $
(2) $ [mm] t_k(b)=f_k(b) [/mm] $
(3) $ t'_k(b)=f'_k(b) $
(4) $ [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {(f(x)-t(x)) dx} = Q $
Q ist als bekannt zu betrachten.
Mit Hilfe der Gleichungen habe ich nun die Differenzfunktion ermittelt und auf Nullstellen untersucht.
Genau hier liegt nun das Problem, der Ausdruck lautet $ [mm] 2x^3-3kx^2+k^3=0 [/mm] $ .
Dieser Ausdruck kann aber leider nicht richtig sein, da eine doppelte Nullstelle bei $ x=k $ vorliegt, dort aber per Definition ein Schnittpunkt
vorliegt, genau wie am Punkt B kein Berührpunkt sein kann, da die Differenzfunktion hier nur eine einfache Nullstelle hat $(x=-0,5k)$.
Jetzt liegt natürlich die Vermutung nahe, dass die Aufgabe keine Lösung hat, wenn man jedoch die Aufgabe skizziert, so scheint es Lösungen zu geben.
Ich freue mich sehr, wenn ihr euch mit meinem Problem auseinandersetzt und natürlich besonders, wenn ihr eure Ideen auch postet.
Liebe Grüße
Fugre
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Fugre,
ein paar kleine Schusseleien können die Sache manchmal ganz schön durcheinander bringen.
> (1) allgemeine Geraden/Tangentengleichung: [mm]t_k(x)=mx+b .[/mm]
Woher weißt Du, dass die Gerade die Abszisse im Punkt b schneidet?
Weiter ist bekannt, dass die Gerade und die Kurve sich in der 3. Nullstelle der Kurve schneiden - damit ist die obere Intgrationsgrenze bekannt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Di 14.12.2004 | | Autor: | Fugre |
Hallo Siegfried,
zunächst einmal möchte ich dir danken, dass du dich mit meiner Frage beschäftigt hast.
Aber ich habe noch einige Fragen zu deiner Antwort und deshalb ist der Status der Frage auch
noch offen.
> Hallo Fugre,
>
> ein paar kleine Schusseleien können die Sache manchmal ganz
> schön durcheinander bringen.
>
Da hast du sehr recht 
>
> > (1) allgemeine Geraden/Tangentengleichung: [mm]t_k(x)=mx+b .[/mm]
>
>
> Woher weißt Du, dass die Gerade die Abszisse im Punkt b
> schneidet?
>
Dies habe ich nicht behauptet. Ich nehme an du beziehst dich auf den Punkt B(b/f(b)), dieser Punkt ist
kein Schnittpunkt mit der Abzisse, lediglich die Differenzfunktion muss an dieser Stelle eine doppelte
Nullstelle haben, damit hier ein Berührpunkt der beiden Kurven vorliegt.
> Weiter ist bekannt, dass die Gerade und die Kurve sich in
> der 3. Nullstelle der Kurve schneiden - damit ist die obere
> Intgrationsgrenze bekannt.
>
Richtig, b ist untere Grenze und k ist obere Grenze des Integrals, hilft mir aber leider
noch nicht weiter, da die Probleme beim aufstellen der Gleichung für die Tangentenschar auf.
Das Integral ist erst für den letzten Schritt gedacht und es ist einfach als bekannt zu sehen,
damit man später die letzte Variable eliminieren kann.
>
>
Vielen Dank für deine Hilfe.
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Do 23.12.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Nicolas!
Ich denke, Siegfried meint, dass Du zweimal den Buchstaben $b$ für unterschiedliche Dinge benutzt. Das erste $b$, das Du einführst, ist der $y$-Achsenabschnitt der Tangente. Das zweite $b$ ist die $x$-Koordinate des Punktes $B$. Ich bin aber nicht ganz sicher, ob das die Verwirrung löst. Leider weiß ich nicht genau, was Du alles gerechnet hast, um auf die Gleichung [mm] $2x^3-3x^2k+k^3=0$ [/mm] zu kommen. Ich erhalte exakt diese Gleichung, aber in meiner Notation (mit $c$ als dem Achsenabschnitt der Tangente und $b$ als Abszisse von $B$) als Beziehung zwischen den Unbekannten $b$ und $k$, also [mm] $2b^3-3b^2k+k^3=0$. [/mm] Dank Deiner weiteren Ausführungen weiß ich nun auch, dass diese Beziehung gleichbedeutend ist mit $b=k$ (was unsinnig ist, da dann $P$ und $B$ zusammenfallen würden) oder $b=-k/2$ (was auch gut zu Deiner Skizze passt, für gewähltes $k=2$ glaube ich). So erhält man dann auch über das Integral eine Gleichung, die nur noch von $k$ (oder $b$, je nachdem) abhängt.
Ich hoffe, ich konnte Dir damit ein wenig weiterhelfen.
Liebe Grüße und Frohe Weihnachten!
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Fugre |
Liebe Brigitte,
es freut mich sehr, dass du dich mit dieser Aufgabe beschäftigst.
Das Bezeichnung mit dem b ist wirklich sehr verwirrend, deshalb habe ich in diesem Artikel umbenannt.
Der Punkt B ist zum Punkt T geworden und so auch seine Koordinaten.
Das Rätsel um die Gleichung hast du ja schon selber gelöst. Das x ist der unser neues t, in meinen handschriftlichen Aufzeichnungen habe
ich es [mm] $x_t$ [/mm] genannt, also das x bei dem die Kurven tangieren.
Dann ist die Aufgabe jetzt ja gelöst.
Mein Fehler war die Fehlinterpretation der Gleichung, da ich sie als Differenzfunktion gesehen habe und
das ist sie ja doch nicht.
Also vielen Dank und ein frohes Fest
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Fr 24.12.2004 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
erst einmal wünsche ich Euch allen fröhliche Weihnachten und ein paar besinnliche Feiertage.
Ich habe mich auch mit diesem Problem beschaeftigt.
Ich habe aber einen etwas allgemeineren Ansatz gewählt:
Sei [mm][mm] m_1 ,\;b_1 \; \in \IR\;[/mm] [mm].
Dann lautet die Tangentengleichung:
[mm]t_k \left( x \right)\; = \;{\rm{m}}_1 \;x\; + \;{\rm{b}}_1 [/mm]
Hieraus habe ich folgende Bedingungen aufgestellt:
Dann gilt für [mm]{\rm{A}}{\rm{,b}}{\rm{,p}}{\rm{,Q}} \in \IR\;[/mm]:
[mm]\left( 1 \right)\;t_k \left( {\rm{b}} \right)\; = \;f_k \left( {\rm{b}} \right)[/mm]
[mm]\left( 2 \right)\;t'_k \left( {\rm{b}} \right)\; = \;f'_k \left( {\rm{b}} \right)[/mm]
[mm]\left( 3 \right)\;f_k \left( x \right)\; - \;t_k \left( x \right)\; = \;A\left( {x - {\rm{p}}} \right)\left( {x - {\rm{b}}} \right)^2 [/mm]
[mm]\left( 4 \right)\;\int\limits_{\rm{p}}^{\rm{b}} {\left( {f_k \left( x \right)\; - \;t_k \left( x \right)} \right)} \;dx\; = \;{\rm{Q}}[/mm]
Hieraus folgen aus den Bedingungen (1) und (2) die Koeffizienten der Tangentengleichung in Abhaengigkeit von b (Punkt B)
Setzt man die so gewonnenen Erkenntnisse in Bedingung (3) ein, so erhält man eine Bedingung für p (Punkt P).
Damit ist auch der Flächeninhalt Q exakt festgelegt.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
