Integral einer Potenzfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f_a(x) [/mm] = x^(-a)/a
Gesucht: Stammfunktion |
Hallo zusammen!
Ich wollt nur diese Parameterfunktion integrieren.
Meine Lösung deckt sich eigentlich fast mit der von Derive.
Meine Lösung:
F(x) = (x^(1-a)) / (a * (1-a))
Derive:
F(x) = (x^(-a + 1) - 1) / (a·(1 - a))
Was sollen die -1 im Zähler??? Woher kommt dieses konstante Glied?
In der schrittweisen Lösung von Derive heißt es:
das Integral von [mm] x^n [/mm] = (x^(n+1) -1) / (n+1).
Kann mir das jemand erklären?
Leider schaut nämlich der Graph der Stammfunktion deshalb auch etwas anderst aus.
Das is ein Teilstück meiner Facharbeit.
Dankeschön
Gruß Master Jo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit der Stammfkt [mm] F(x)=x^{1-a}/(a*(1-a)) [/mm] ist auch JEDE funktion F(x)=Konstante Stammfkt.
Dein derive gibt hier als stammfkt :
[mm] F(x)=\integral_{1}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
genausogut kann man [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] nehmen, mit a beliebig aus dem Def.Gebiet von f
Also habt ihr beide recht, die verschiedenen F sind einfach immer dieselbe fkt, nur nach oben oder unten verschoben!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort.
Nur noch was formales.
Wenn ich die Stammfunktion bilden will, reicht es dann ein Integralzeichen ohne Grenzen zu schreiben, oder brauch ich Grenzen?
Die obere ist ja dann immer x.
Wie wählt man dann die untere? Wie is das mit den Nullstellen, über die man nicht integrieren darf? Dann würde doch meine Lösung, [mm] \integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] nur für positive a gelten oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 23.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Also...wenn du das Integralzeichen ohne Grenzen verwendest, so nennt sich das Baby dann "unbestimmtes" Integral.
Damit haste dann eine Möglichkeit, die Stammfunktion korrekt darzustellen.
Über Definitionslücken sollte man doch eigentlich nicht "hinwegintegrieren".
Schau dir mal z.B. 1/x an....Wenn du dann von 0-a Integrierst und du das ganze mal als Fläche deutest, so wird die Fläche doch immer größer, da je näher du an die 0 herankommst, die y-Werte weiter zunehmen.
Ebenso siehst du das an der Stammfunktion:
Stammfunktion zu 1/x ist ln|x|
Versuch dann mal mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes ein Integral von 0-5 z.B. zu berechnen....da landest du dann auch bei ln(0).....
Also einfach darüber hinwegintegrieren würde ich nicht tun.
Slaín,
Kroni
PS: Noch eine Frage: Wer sagt, dass man über Nullstellen nicht hinwegintegrieren darf?!?
Guck dir mal die Sinusfunktion an, und dann das Integral dieser von 0 bis 2pi...da integriert man auch über die Nullstellen der Funktion hinweg und man kommt auf ein Ergebnis, nämlich 0*g*
Slaín
|
|
|
| |
|
Ja gut, das weiß ich ja auch.
Ich glaub, du hast meine Frage nicht ganz verstanden.
Schreibe ich in meiner Rechnung, wenn ich die Stammfunktion bilden will, einfach
F(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}, [/mm] ohne irgendwelche Grenzen ( auch nicht a und b) anzugeben,
oder schreibt man üblicherweise mit der oberen Grenze x und der unteren a.
Ich geb zu, ich hat nen kleinen denkfehler, denn das a im Integral, das leduart geschrieben hat, ist nicht das gleiche, wie der Parameter. Das hat mich verwirrt.
Mir gehts im Moment rein ums Formale.
Danke im vorraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Di 23.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Achso...
Nunja...F(X) ist ja nur die Stammfunktion....also könnte man das unbestimme Integral da wohl hinschreiben.
Aber warum nicht direkt F(x)= Stammfunktion dahinschreiben? Warum der Umweg dazwischen mit dem unbestimmen Integral?
Naja...wenn du dann das bestimme Integral hast mit den Grenzen, dann haben wir immer den "Zwischenweg" gewählt mit dem [Stammfunktion] und dann noch grenzen oben und unten drangeschrieben.
Slaín,
Kroni
|
|
|
| |
|
Ich muss deswegen den Zwischenschritt hinschreiben, da die Funktion eigentlich viel komplexer ist als die oben genannte Potenzfunktion und ich nicht einfach das Ergebnis gleich hinklatschen kann.
Ich hab bisher ohne Grenzen alle Integrale bei der Berechnung der Stammfunktion geschrieben. Das ist wohl auch richtig so.
Nur hat mich die Erklärung von Leduart zur Überlegung gebracht, dass ich vielleicht doch Grenzen angeben sollte. (von a bis x)
Is das jetzt mathematisch inkorrekt, ohne Grenzen die Berechnung durchzuführen und beim Ergebnis der Stammfunktion einfach ein + C (konstantes Glied also) mit hinzuschreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Di 23.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Welche Berechnung?
Die der Stammfunktion?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Kroni |
Bei der Berechnung der Stammfunktion ist es völlig okay, dort ein unbestimmtes Integral hinzuschreiben und dann einfach hinter die Stammfunktion ein (+c) hinterzuhängen.
Das +c hebt sich ja hinterher durch die Anwendung des zweiten Hauptsatzes wieder weg.
Slaín,
Kroni
|
|
|
| |
|
Also danke für die Mühe.
Ich lass es jetzt auch so stehn.
Ich hoff das passt so.
Ob sich das nachher aufhebt oder nicht is ja eigentlich egal.
Mir gings ja nur um die Form.
Aber trotzdem danke.
Gute Nacht
|
|
|
|
