Integral einer stetigen Fkt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 So 07.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Sei f(x)=kx+d, x d,k [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \not=0.
[/mm]
Weiters ein Teilinterval von [mm] \IR [\alpha,\beta] [/mm] kompakt mit [mm] f([\alpha,\beta])=[a,b]. [/mm] Zu zeigen:
-) f':[a,b] --> [mm] \IR [/mm] stetig [mm] \Rightarrow [/mm] die Funktion x -> f'(kx+d) stetig auf [mm] [\alpha,\beta] [/mm] und
[mm] \integral_{a}^{b}{f'(x) dx}= [/mm] |k| * [mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}.
[/mm]
Desweiteren ist zu überlegen, ob selbige Aussage gültig bleibt, wenn man 'stetig' durch 'riem.integrierbar' austauscht. |
Hallo an alle!
Habe hier leider überhaupt keinen Ansatz, aber vielleicht könnte mir jemand weiterhelfen.
Eventuell könnte man durch Substitution hier weiter kommen, aber dabei fehlt mir die Übung..
Würde mich über eure Hilfe sehr freuen!
Danke für eure Zeit,
Mfg Sr.
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> Sei f(x)=kx+d, x d,k [mm]\in \IR[/mm] und k [mm]\not=0.[/mm]
Hallo,
der Graph von f ist also eine Gerade.
> Weiters ein Teilinterval von [mm]\IR [\alpha,\beta][/mm] kompakt
> mit [mm] f([\alpha,\beta])=[a,b].
[/mm]
Es ist dann [mm] (a=k\alpha+d [/mm] und [mm] b=k\beta+d) [/mm] oder [mm] (b=k\alpha+d [/mm] und [mm] a=k\beta+d)
[/mm]
So nun bestimme ich vorsorglich schonmal f':
f'(x)= k.
Diese Funktion ist zweifelsohne stetig, und nun soll man sie über dem Intervall [a,b] betrachten?
> Zu zeigen:
>  f':[a,b] --> [mm]\IR[/mm] stetig [mm]\Rightarrow[/mm] die Funktion x ->
> f'(kx+d) stetig auf [mm][\alpha,\beta][/mm] und
Die Aussage ist irgendwie nicht so der Hammer:
die Funktion g, die x auf f'(kx+d) abbildet,
hat die Abbildungsvorschrift g(x):=k.
> [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}=[/mm] |k| *
> [mm]\integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}.[/mm]
Mal nachrechnen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f'(x) dx}=\integral_{a}^{b}{k dx}=k(a-b)
[/mm]
[mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}=\integral_{\alpha}^{\beta}{k dx}=k(\alpha [/mm] - [mm] \beta)= [/mm] a-b oder ...=b-a.
Achso. Das ist ja schon die Aussage, die man zeigen soll.
Wo war jetzt das Problem?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
> > Sei f(x)=kx+d, x d,k [mm]\in \IR[/mm] und k [mm]\not=0.[/mm]
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> Hallo,
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> der Graph von f ist also eine Gerade.
>
> > Weiters ein Teilinterval von [mm]\IR [\alpha,\beta][/mm] kompakt
> > mit [mm]f([\alpha,\beta])=[a,b].[/mm]
>
> Es ist dann [mm](a=k\alpha+d[/mm] und [mm]b=k\beta+d)[/mm] oder [mm](b=k\alpha+d[/mm]
> und [mm]a=k\beta+d)[/mm]
>
> So nun bestimme ich vorsorglich schonmal f':
>
> f'(x)= k.
>
> Diese Funktion ist zweifelsohne stetig, und nun soll man
> sie über dem Intervall [a,b] betrachten?
>
> > Zu zeigen:
> > f':[a,b] --> [mm]\IR[/mm] stetig [mm]\Rightarrow[/mm] die Funktion x
> ->
> > f'(kx+d) stetig auf [mm][\alpha,\beta][/mm] und
>
> Die Aussage ist irgendwie nicht so der Hammer:
>
> die Funktion g, die x auf f'(kx+d) abbildet,
>
> hat die Abbildungsvorschrift g(x):=k.
>
>
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}=[/mm] |k| *
> > [mm]\integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}.[/mm]
>
> Mal nachrechnen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}=\integral_{a}^{b}{k dx}=k(a-b)[/mm]
>
> [mm]\integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}=\integral_{\alpha}^{\beta}{k dx}=k(\alpha[/mm]
> - [mm]\beta)=[/mm] a-b oder ...=b-a.
>
> Achso. Das ist ja schon die Aussage, die man zeigen soll.
>
> Wo war jetzt das Problem?
>
> Gruß v. Angela
>
Danke Angela für deine Mühe.
Glaube das Problem liegt darin, dass wenn man erst mal die Lösung sieht, kommt sie einem logisch und nicht schwer vor; aber selbst zur Lösung kommen ist wieder eine ganz andere Sache...
Trotz Deiner guten Ausführungen haben sich für mich ein paar kleine Fragen aufgetan.
-) Warum bestimmst du hier das f' gleich als f'(x):=k. Machst du das in weiser Voraussicht oder ergibt sich das durch Rechnen?
-) Warum müssen wir den fall, dass [mm] b=k*\alpha+d [/mm] und [mm] a=k*\beta+d [/mm] auch berücksichtigen?
-) Das mit der Fkt. g habe ich leider auch nicht ganz verstanden, die verwenden wir doch im nachhinein garnicht, oder doch?
Hoffe, du hast noch ein weiteres mal soviel Geduld mit mir.
Danke dir für deine Zeit!
Mfg Sr.
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> > > Sei f(x)=kx+d, x d,k [mm]\in \IR[/mm] und k [mm]\not=0.[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > der Graph von f ist also eine Gerade.
> >
> > > Weiters ein Teilinterval von [mm]\IR [\alpha,\beta][/mm] kompakt
> > > mit [mm]f([\alpha,\beta])=[a,b].[/mm]
> >
> > Es ist dann [mm](a=k\alpha+d[/mm] und [mm]b=k\beta+d)[/mm] oder [mm](b=k\alpha+d[/mm]
> > und [mm]a=k\beta+d)[/mm]
> >
> > So nun bestimme ich vorsorglich schonmal f':
> >
> > f'(x)= k.
> >
> > Diese Funktion ist zweifelsohne stetig, und nun soll man
> > sie über dem Intervall [a,b] betrachten?
> >
> > > Zu zeigen:
> > > f':[a,b] --> [mm]\IR[/mm] stetig [mm]\Rightarrow[/mm] die Funktion
> x
> > ->
> > > f'(kx+d) stetig auf [mm][\alpha,\beta][/mm] und
> >
> > Die Aussage ist irgendwie nicht so der Hammer:
> >
> > die Funktion g, die x auf f'(kx+d) abbildet,
> >
> > hat die Abbildungsvorschrift g(x):=k.
> >
> >
> > > [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}=[/mm] |k| *
> > > [mm]\integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}.[/mm]
> >
> > Mal nachrechnen:
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}=\integral_{a}^{b}{k dx}=k(a-b)[/mm]
>
> >
> > [mm]\integral_{\alpha}^{\beta}{f'(kx+d) dx}=\integral_{\alpha}^{\beta}{k dx}=k(\alpha[/mm]
> > - [mm]\beta)=[/mm] a-b oder ...=b-a.
> >
> > Achso. Das ist ja schon die Aussage, die man zeigen soll.
> >
> > Wo war jetzt das Problem?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Danke Angela für deine Mühe.
> Glaube das Problem liegt darin, dass wenn man erst mal die
> Lösung sieht, kommt sie einem logisch und nicht schwer
> vor; aber selbst zur Lösung kommen ist wieder eine ganz
> andere Sache...
> Trotz Deiner guten Ausführungen haben sich für mich ein
> paar kleine Fragen aufgetan.
>
> -) Warum bestimmst du hier das f' gleich als f'(x):=k.
Hallo,
es steht doch in Deienr Aufgabenstellung, daß f(x)=kx+d, und weil man später im Integral f' benötigt, hab' ich halt die Ableitung schonmal hingeschrieben.
> Machst du das in weiser Voraussicht oder ergibt sich das
> durch Rechnen?
S.o.: beides...
> Warum müssen wir den fall, dass [mm]b=k*\alpha+d[/mm] und
> [mm]a=k*\beta+d[/mm] auch berücksichtigen?
Entweder ist die Gerade f mit pos. oder mit neg. Steigung, und je nachdem sind a und b entweder so oder so.
> Das mit der Fkt. g habe ich leider auch nicht ganz
> verstanden, die verwenden wir doch im nachhinein garnicht,
> oder doch?
Doch, bloß daß sie nicht als g dasteht. Es kommt ja das Integral [mm] \integral [/mm] f'(kx+d)dx vor, und das ist ja [mm] \integral [/mm] g(x)dx - das Integral einer stetigen Funktion.
Bis hierher war das eigentlich nichts besonders Tiefsinniges...
Die eigentliche Aufgabe ist nun wohl, daß man drüber nachdenkt, ob man statt "stetig" "integrierbar" schreiben kann.
Irgendwie ist die ganze Aufgabe aber etwas komisch. Ist die im 0riginalwortlaut?
Gruß v. Angela
>
> Hoffe, du hast noch ein weiteres mal soviel Geduld mit
> mir.
> Danke dir für deine Zeit!
>
> Mfg Sr.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:02 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Roli772 |
> > Danke Angela für deine Mühe.
> > Glaube das Problem liegt darin, dass wenn man erst mal
> die
> > Lösung sieht, kommt sie einem logisch und nicht schwer
> > vor; aber selbst zur Lösung kommen ist wieder eine ganz
> > andere Sache...
> > Trotz Deiner guten Ausführungen haben sich für mich
> ein
> > paar kleine Fragen aufgetan.
> >
> > -) Warum bestimmst du hier das f' gleich als f'(x):=k.
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> Hallo,
>
> es steht doch in Deienr Aufgabenstellung, daß f(x)=kx+d,
> und weil man später im Integral f' benötigt, hab' ich
> halt die Ableitung schonmal hingeschrieben.
ja wobei mit f' nicht die ableitung gemeint ist, normal wird hier ein phi und ein normales f verwendet, allerdings war ich zu faul, und da in der unteren pallette kein phi zu finden war, hab ichs schnell in f und f'(fstrich) benannt.
Ändert das hoffentlich eh nichts an dem lösungsweg??
> > Machst du das in weiser Voraussicht oder ergibt sich das
> > durch Rechnen?
>
> S.o.: beides...
>
> > Warum müssen wir den fall, dass [mm]b=k*\alpha+d[/mm] und
> > [mm]a=k*\beta+d[/mm] auch berücksichtigen?
>
> Entweder ist die Gerade f mit pos. oder mit neg. Steigung,
> und je nachdem sind a und b entweder so oder so.
ok, dass ist einleuchtend.
>
> > Das mit der Fkt. g habe ich leider auch nicht ganz
> > verstanden, die verwenden wir doch im nachhinein garnicht,
> > oder doch?
>
> Doch, bloß daß sie nicht als g dasteht. Es kommt ja das
> Integral [mm]\integral[/mm] f'(kx+d)dx vor, und das ist ja [mm]\integral[/mm]
> g(x)dx - das Integral einer stetigen Funktion.
>
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> Bis hierher war das eigentlich nichts besonders
> Tiefsinniges...
> Die eigentliche Aufgabe ist nun wohl, daß man drüber
> nachdenkt, ob man statt "stetig" "integrierbar" schreiben
> kann.
Ahja, das hatte ich schon ganz vergessen >_>
Kann man da als normal-sterblicher auch draufkommen?
> Irgendwie ist die ganze Aufgabe aber etwas komisch. Ist die
> im 0riginalwortlaut?
nein ist sie nicht, hoffe das stört nicht :S
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > Hoffe, du hast noch ein weiteres mal soviel Geduld mit
> > mir.
> > Danke dir für deine Zeit!
> >
> > Mfg Sr.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 08.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> ja wobei mit f' nicht die ableitung gemeint ist,
Super, wenn man von der standardnotation abweicht.
> normal
> wird hier ein phi und ein normales f verwendet,
Was? Hinschreiben und definieren! Was soll das sein?
> allerdings
> war ich zu faul, und da in der unteren pallette kein phi zu
> finden war, hab ichs schnell in f und f'(fstrich) benannt.
[mm] \phi [/mm] - aber selbst wenn, hättest du das erwähnen sollen! Sollen wir raten? Vielen dank! Da hta sich dann Angela vielleicht umsonst Mühe gegeben.
> Ändert das hoffentlich eh nichts an dem lösungsweg??
Meinst du das jetzt wirklich Ernst? Wir wissen ja jetzt nicht einmal, was da stehen soll.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Di 09.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja wobei mit f' nicht die ableitung gemeint ist, normal
> wird hier ein phi und ein normales f verwendet, allerdings
> war ich zu faul, und da in der unteren pallette kein phi zu
> finden war, hab ichs schnell in f und f'(fstrich) benannt.
> Ändert das hoffentlich eh nichts an dem lösungsweg??
............... Waaaaahnsinn .......... !
FRED
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> ja wobei mit f' nicht die ableitung gemeint ist, [...]
> Ändert das hoffentlich eh nichts an dem lösungsweg??[...]
> > Irgendwie ist die ganze Aufgabe aber etwas komisch. Ist die
> > im 0riginalwortlaut?
>
> nein ist sie nicht, hoffe das stört nicht :S
Hallo,
nö, üüüüberhaupt nicht...
Schließlich ist es völ-lig wurscht, wie die Frage heißt, auf welche man antwortet...
Ey, sind die tollen Tage noch nicht vorbei, oder was?
Gruß v. Angela
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