Integral f(x)²=0 => f(x)=0 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Fr 01.07.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Sei [mm] f:[a,b]\rightarrow \IR [/mm] stetig. Für jede stetige Funktion [mm] g:[a,b]\rightarrow \IR [/mm] gelte [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=0 [/mm]
Zeigen Sie: f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] |
Hi,
meine Überlegungen soweit:
Wir setzen g(x)=f(x) [mm] \forall x\in [/mm] [a,b]
Dann gilt sicher [mm] (f(x))^2\geq0 \forall x\in [/mm] [a,b] und
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}=0.
[/mm]
D.h. auch das Oberintegral von [mm] (f(x))^2 [/mm] muss Null sein und also
[mm] \exists [/mm] Zerlegung [mm] Z=\{x_0,x_1,..,x_m\}: \overline{S}(f^2,Z)<\varepsilon \forall \varepsilon>0
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{m}M_i^2 \Delta x_i< \varepsilon \forall \epsilon>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_i^2<\frac{\varepsilon}{\Delta x_i} [/mm] ,i=1,..m
(mit [mm] M_i [/mm] = [mm] sup\{f(x):x_{i-1}\leq x\leq x_i\}
[/mm]
Nun kann mein [mm] \Delta [/mm] x ja aber auch beliebig klein werden.
Vielleicht ist der letzte Schritt auch zu schwach abgeschätzt?
Wie komme ich hier weiter?
lg unr8d
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Fr 01.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] stetig. Für jede stetige
> Funktion [mm]g:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] gelte
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=0[/mm]
> Zeigen Sie: f(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]
> Hi,
>
> meine Überlegungen soweit:
> Wir setzen g(x)=f(x) [mm]\forall x\in[/mm] [a,b]
> Dann gilt sicher [mm](f(x))^2\geq0 \forall x\in[/mm] [a,b] und
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}=0.[/mm]
>
> D.h. auch das Oberintegral von [mm](f(x))^2[/mm] muss Null sein und
> also
> [mm]\exists[/mm] Zerlegung [mm]Z=\{x_0,x_1,..,x_m\}: \overline{S}(f^2,Z)<\varepsilon \forall \varepsilon>0[/mm]
>
> [mm]\gdw \summe_{i=1}^{m}M_i^2 \Delta x_i< \varepsilon \forall \epsilon>0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow M_i^2<\frac{\varepsilon}{\Delta x_i}[/mm] ,i=1,..m
> (mit [mm]M_i[/mm] = [mm]sup\{f(x):x_{i-1}\leq x\leq x_i\}[/mm]
>
> Nun kann mein [mm]\Delta[/mm] x ja aber auch beliebig klein werden.
> Vielleicht ist der letzte Schritt auch zu schwach
> abgeschätzt?
> Wie komme ich hier weiter?
Du brauchst auf jeden Fall die Stetigkeit von f. Für eine nicht auf ganz $[a,b]$ stetige Funktion ist die Aussage nämlich falsch, wie das Gegenbeispiel
[mm] h(x) = \begin{cases} 1,& x=a \\ 0, & a
zeigt: Für jede auf $[a,b]$ stetige Funktion g ist
[mm] \integral_{a}^{b}{h(x)g(x) dx} = 0 [/mm] .
Tipp zur Vorgehensweise: wenn $f(x)$ (und damit [mm] $(f(x))^2$) [/mm] nicht auf ganz $[a,b]$ identisch 0 ist, dann muss es wegen der Stetigkeit von f eine Zahl $K>0$ und ein Teilintervall von $[a,b]$ geben, auf dem [mm] $(f(x))^2 [/mm] > K > 0$ ist. (Überleg dir erst, warum das so ist!)
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] stetig. Für jede stetige
> Funktion [mm]g:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] gelte
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=0[/mm]
> Zeigen Sie: f(x)=0 für alle x [mm]\in[/mm] [a,b]
> Hi,
>
> meine Überlegungen soweit:
> Wir setzen g(x)=f(x) [mm]\forall x\in[/mm] [a,b]
> Dann gilt sicher [mm](f(x))^2\geq0 \forall x\in[/mm] [a,b] und
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}=0.[/mm]
soweit ist sicher alles richtig, den Rest vergesse ich mal, weil mir die Überlegungen ein wenig zu kompliziert erscheinen.
Es gibt aber einen Satz aus der Analysis, der (soweit ich mich recht erinnere) mit Rainers Hinweis bewiesen wird/werden kann (falls unbekannt) (bzw. genauer gesagt: verwende Rainers Tipp in analoger Weise), der besagt:
Ist eine Funktion [mm] $t\,$ [/mm] stetig auf dem Intervall mit den Grenzen $a < [mm] b\,,$ [/mm] und gilt $t [mm] \ge [/mm] 0$ (d.h. $t(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\,$ [/mm] des Intervalls) und gilt auch für nur (mindestens) ein [mm] $x_0$ [/mm] des Intervalls [mm] $t(x_0) [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\int_a^b [/mm] t(x)dx > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Bei Dir wäre dann mit [mm] $t=f^2$ [/mm] (im Sinne von [mm] $t(x)=f^2(x):=(f(x))^2$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] des Intervalls) alles klar wegen [mm] $f^2 \ge 0\,.$
[/mm]
(Denn gäbe es ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_0)\not=0\,,$ [/mm] so folgte ja [mm] $t(x_0)=f^2(x_0) [/mm] > 0$ und mit obigem Satz dann der Widerspruch [mm] $\int_a^b f(x)*f(x)dx=\int_a^b [/mm] t(x)dx > [mm] 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Fr 01.07.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
vielen Dank für eure Antworten soweit!
ich habe hier ein Lemma das besagt
ist f in [mm] x_0 [/mm] stetig und [mm] f(x_0)>0 [/mm] so existiert ein [mm] \delta>0 [/mm] mit f(x)>0 für alle [mm] x\in U_\delta (x_0).
[/mm]
Wähle ich mir nun K=f(x)/2 (gleiche Methode wie beim Beweis dieses Lemmas) habe ich also mein Intervall [mm] [c,d]\subseteq [/mm] [a,b] mit [mm] a\leq c
Ich bin mir allerdings nicht so recht sicher wie ich das auf das Integral übertrage.
Ich weiß [mm] inf\{t(x):c\leq x\leq d\}=K>0.
[/mm]
Damit existiert wegen c<d sicher eine Zerlegung Z mit [mm] \underline{S}(t,Z)>0
[/mm]
und damit [mm] \integral_{a}^{b}{t(x) dx}>0.
[/mm]
So sollte wohl der Weg sein.
Bei der Untersumme berufe ich mich aber nur drauf, dass c<d, also ein Intervall (nicht etwa nur ein Punkt) mit Funktionswert >0 existiert und ich damit eine Zerlegung finde
(ein Teilintervall könnte also [c,d] sein und die Summe dort ist [mm] \geq [/mm] K*(d-c))
sodass die Untersumme >0 wird, d.h. das Unterintegral >0 und damit auch das Integral an sich.
-> Widerspruch.
Genügt diese Argumentation aber oder muss ich da noch irgendwie explizit vorgehen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Sa 02.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
> vielen Dank für eure Antworten soweit!
>
> ich habe hier ein Lemma das besagt
> ist f in [mm]x_0[/mm] stetig und [mm]f(x_0)>0[/mm] so existiert ein [mm]\delta>0[/mm]
> mit f(x)>0 für alle [mm]x\in U_\delta (x_0).[/mm]
> Wähle ich mir
> nun K=f(x)/2 (gleiche Methode wie beim Beweis dieses
> Lemmas) habe ich also mein Intervall [mm][c,d]\subseteq[/mm] [a,b]
> mit [mm]a\leq c
>
> Ich bin mir allerdings nicht so recht sicher wie ich das
> auf das Integral übertrage.
>
> Ich weiß [mm]inf\{t(x):c\leq x\leq d\}=K>0.[/mm]
> Damit existiert
> wegen c<d sicher eine Zerlegung Z mit [mm]\underline{S}(t,Z)>0[/mm]
> und damit [mm]\integral_{a}^{b}{t(x) dx}>0.[/mm]
>
> So sollte wohl der Weg sein.
> Bei der Untersumme berufe ich mich aber nur drauf, dass
> c<d, also ein Intervall (nicht etwa nur ein Punkt) mit
> Funktionswert >0 existiert und ich damit eine Zerlegung
> finde
> (ein Teilintervall könnte also [c,d] sein und die Summe
> dort ist [mm]\geq[/mm] K*(d-c))
> sodass die Untersumme >0 wird, d.h. das Unterintegral >0
> und damit auch das Integral an sich.
> -> Widerspruch.
>
> Genügt diese Argumentation aber oder muss ich da noch
> irgendwie explizit vorgehen?
Du brauchst eigentlich nur
[mm] \integral_a^b f(x)^2\,dx = \integral_a^c f(x)^2\,dx+\integral_c^d f(x)^2\,dx+\integral_d^b f(x)^2\,dx \ge \integral_c^d f(x)^2\,dx \ge K*(d-c) > 0 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Sa 02.07.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
wie so oft liegt die Kunst darin die Sache so einfach aufzufassen und darzustellen wie sie es eben ist.
Ok, dann ist jetzt alles klar.
Vielen Dank euch beiden!
lg
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