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| Aufgabe | Lösen sie folgendes Integral:
S (3x-4)/(x²+2x+16) dx |
Ich hab keine Ahnung was ich machen soll. Substituieren fällt mir nichts ein, Partialbruchzerlegung mag auch nicht :( Brauch nen Wink mit dem Zaunpfahl (möglichst ein grpßer ;) )
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Hallo raycluster,
das ist kein besonders schönes Integral 
Forme zunächst ein bisschen um:
[mm] $\frac{3x-4}{x^2+2x+16}=\frac{3}{2}\cdot{}\frac{\frac{2}{3}\cdot{}\left(3x-4\right)}{x^2+2x+16}=\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x-\frac{8}{3}}{x^2+2x+16}=\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x\red{+2-2}-\frac{8}{3}}{x^2+2x+16}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x+2}{x^2+2x+16}+\frac{3}{2}\cdot{}\frac{\frac{-14}{3}}{x^2+2x+16}=\frac{3}{2}\cdot{}\frac{2x+2}{x^2+2x+16}-7\cdot{}\frac{1}{x^2+2x+16}$
[/mm]
Damit kannst du dein Integral schreiben als:
[mm] $\int{\frac{3x-4}{x^2+2x+16} \ dx}=\frac{3}{2}\cdot{}\int{\frac{2x+2}{x^2+2x+16} \ dx}-7\cdot{}\int{\frac{1}{x^2+2x+16} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist ein logarithmisches, also eines, wo im Zähler die Ableitung des Nenners steht, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Und das hat bekanntlich die Stammfunktion [mm] $F(x)=\ln|f(x)|+C$
[/mm]
(Zu Fuß kannst du das über die Substitution [mm] $u:=x^2+2x+16$ [/mm] lösen)
Das hintere Integral ist "schlimmer"
Das kannst du auch noch umschreiben:
[mm] $\int{\frac{1}{x^2+2x+16} \ dx}=\int{\frac{1}{(x+1)^2-1+16} \ dx}=\int{\frac{1}{(x+1)^2+\sqrt{15}^2} \ dx}$
[/mm]
Und hier wieder substituieren $u:=x+1$
Ein Hinweis noch: [mm] $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}=\arctan(z)$ [/mm] und [mm] $\int{\frac{1}{z^2+a^2} \ dz}=\frac{1}{a}\cdot{}\arctan\left(\frac{z}{a}\right)$
[/mm]
Hoffe, das hilft dir weiter...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 30.01.2008 | | Autor: | raycluster |
Ok danke, habs :)
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