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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 So 19.09.2010 | | Autor: | Snowside |
| Aufgabe | | Die untenstehende Fläche wird von der x-Achse und der Kurve [mm] r=2\wurzel{\varphi} [/mm] begrenzt. Berechnen sie die Fläche. (Darunter ist ein Graph abgebildet) |
Moin
Meine Frage ist folgende:
Ich hab in der Formelsammlung eine Formel zur Berechnung von Doppelintegralen in Polarkoordinaten gefunden. Diese hab ich versucht anzuwenden.
Innere Kurve ist die X-Achse. Die Grenze ist dann [mm] 0-2\wurzel{\varphi}.
[/mm]
Äußere Kurve ist die Funktion [mm] r=2\wurzel{\varphi} [/mm] mit der Grenze [mm] 0-\pi. [/mm] (Da der Graph in den ersten beiden Quadranten verläuft.)
In der Formelsammlung steht nun, dass ich nun die Polarkoordinaten in Kart. Koordinaten wandeln soll.
[mm] x=r*cos{\varphi} [/mm] -> [mm] 2\wurzel{\varphi}*cos{\varphi}
[/mm]
[mm] y=r*sin{\varphi} [/mm] -> [mm] 2\wurzel{\varphi}*sin{\varphi}
[/mm]
Aber wie kann ich das nun Integrieren? Muss ich das in eine impliziete Form bringen? Also quasi eins davon nach [mm] \varphi [/mm] auflösen und in das andere einsetzen? Ich glaube, da würde ich mir den Kopf mit zerbrechen.
Oder kann ich auch so irgendwie das Integral bestimmen?
Gruß und vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Du kannst direkt in Polarkoordinaten rechnen. Das geht in deinem Fall so:
[mm] $A=\int_0^\pi\int_0^{2\sqrt{\phi}} 1*r\,dr\,d\phi$
[/mm]
analog zu
[mm] A=\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}1\,dx\,dy
[/mm]
in karth. Koordinaten.
Die 1 hab ich zur Sicherheit mal hingeschrieben. Das r ist ein Gewichtungsfaktor, der berücksichtigt, daß so ein "Stück aus dem Zwiebelring" [mm] $\Delta\phi*\Delta [/mm] r$ ne größere Fläche hat, wenn es vom Ursprung weiter weg liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 19.09.2010 | | Autor: | Snowside |
| Aufgabe | Wie berechne ich dieses Doppelintegral?
[mm] A=\int_0^\pi\int_0^{2\sqrt{\phi}} 1\cdot{}r\,dr\,d\phi [/mm] |
Ich stehe gerade voll auf dem Schlauch...
Normal Integriert man [mm] 2\sqrt{\phi} [/mm] nun. Da hab ich [mm] \bruch{4}{3}\varphi^{\bruch{3}{2}}.
[/mm]
Und nun müsste ich doch die Grenzen einsetzen und von einander subtrahieren. Aber irgendwie weiss ich nicht weiter... :(
Und wie verfahr ich dann mit dem 2ten Integral?
Danke schonmal für die Hilfe davor ;)
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Hallo Snowside,
> Wie berechne ich dieses Doppelintegral?
>
> [mm]A=\int_0^\pi\int_0^{2\sqrt{\phi}} 1\cdot{}r\,dr\,d\phi[/mm]
> Ich
> stehe gerade voll auf dem Schlauch...
>
> Normal Integriert man [mm]2\sqrt{\phi}[/mm] nun. Da hab ich
> [mm]\bruch{4}{3}\varphi^{\bruch{3}{2}}.[/mm]
???
Integriere wie beim Auflösen von Klammern von innen nach außen, also zunächst nach r!
Berechne also [mm]\int\limits_{r=0}^{r=2\sqrt{\varphi}}{r \ dr}[/mm]
Das ist [mm]=\left[\frac{1}{2}r^2\right]_{r=0}^{r=2\sqrt{\varphi}}=2\varphi[/mm]
Das ist nun der Integrand für das äußere Integral, berechne nun also noch
[mm]\int\limits_{\varphi=0}^{\varphi=\pi}{2\varphi \ d\varphi}[/mm]
>
> Und nun müsste ich doch die Grenzen einsetzen und von
> einander subtrahieren. Aber irgendwie weiss ich nicht
> weiter... :(
> Und wie verfahr ich dann mit dem 2ten Integral?
>
> Danke schonmal für die Hilfe davor ;)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 19.09.2010 | | Autor: | Snowside |
Hehe, ja das war nicht so brilliant, was ich da verbrochen hab.
Aber nun noch ein Versuch.
Das innere Integral hast du ja bereits gelöst. Das übernehme ich analog auf das zweite Integral.
Also Integriere ich [mm] 2\varphi [/mm] -> [mm] \varphi^{2}
[/mm]
Dann setze ich die beiden Grenzen ein bzw in diesem Fall nur [mm] \pi [/mm] und rechne das dann aus.
[mm] =\left[ 2*\varphi^2\right]_{\varphi=0}^{\varphi=\pi}= [/mm] 9,87
Bitte lass es richtig sein =)
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Hallo nochmal,
> Hehe, ja das war nicht so brilliant, was ich da verbrochen
> hab.
>
> Aber nun noch ein Versuch.
>
> Das innere Integral hast du ja bereits gelöst. Das
> übernehme ich analog auf das zweite Integral.
>
> Also Integriere ich [mm]2\varphi[/mm] -> [mm]\varphi^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann setze ich die beiden Grenzen ein bzw in diesem Fall
> nur [mm]\pi[/mm] und rechne das dann aus.
>
> [mm]=\left[ \red{2}*\varphi^2\right]_{\varphi=0}^{\varphi=\pi}=[/mm] 9,87
Streiche die [mm]\red{2}[/mm] und lass am Ende [mm]\pi^2[/mm] stehen 
Sieht schöner aus und ist genauer ...
>
> Bitte lass es richtig sein =)
Gruß
schachuzipus
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