Integral mit cosh(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 17.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Hallo,
[mm] \integral\bruch{1}{1+2cosh(x)}dx [/mm] cosh(x)= [mm] \bruch{e^x+e^-^x}{2}
[/mm]
mir ist zwar bekannt dass dieses Bsp mit Partialbruchzerlegung gelöst werden kann aber das birgt für mich zu viele Fehlerquellen.
Ich möchte es, wenn möglich, mit Substitution lösen.
Hier mein Rechengang:
[mm] \integral\bruch{1}{1+2cosh(x)}dx= \integral\bruch{1}{1+e^x+e^-^x}dx [/mm] Substitution mit [mm] u=e^x
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=e^x [/mm] -->dx= [mm] \bruch{du}{e^x}=\bruch{du}{u}
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{(1+u+\bruch{1}{u})}\bruch{du}{u}= \integral\bruch{1}{(1+u)}\bruch{du}{u}+\integral\bruch{u}{1}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{1}{(1+u^2)}du+\integral du=arctan(u)+u+c=arctan(e^x)+e^x
[/mm]
+c
Könnt ihr mir bitte sagen ob ich auf dem Holzweg oder dem richtigen Weg bin?
LG, Marie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marie886,
> Hallo,
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> [mm]\integral\bruch{1}{1+2cosh(x)}dx[/mm] cosh(x)=
> [mm]\bruch{e^x+e^-^x}{2}[/mm]
>
> mir ist zwar bekannt dass dieses Bsp mit
> Partialbruchzerlegung gelöst werden kann aber das birgt
> für mich zu viele Fehlerquellen.
> Ich möchte es, wenn möglich, mit Substitution lösen.
>
> Hier mein Rechengang:
>
> [mm]\integral\bruch{1}{1+2cosh(x)}dx= \integral\bruch{1}{1+e^x+e^-^x}dx[/mm]
> Substitution mit [mm]u=e^x[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=e^x[/mm] -->dx= [mm]\bruch{du}{e^x}=\bruch{du}{u}[/mm]
>
> [mm]\integral\bruch{1}{(1+u+\bruch{1}{u})}\bruch{du}{u}= \integral\bruch{1}{(1+u)}\bruch{du}{u}+\integral\bruch{u}{1}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{1}{(1+u^2)}du+\integral du=arctan(u)+u+c=arctan(e^x)+e^x[/mm]
>
> +c
>
Hier ist doch folgendes zu integrieren:
[mm]\integral\bruch{1}{(1+u+\bruch{1}{u})}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{du}{u^{2}+u+1}[/mm]
> Könnt ihr mir bitte sagen ob ich auf dem Holzweg oder dem
> richtigen Weg bin?
>
> LG, Marie
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 17.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Das heißt ich komm um eine Partialbruchzerlegung nicht drum rum oder?
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Hallo Marie886,
> Das heißt ich komm um eine Partialbruchzerlegung nicht
> drum rum oder?
Nein, hier brauchst Du keine Partialbruchzerlegung,
sonder zuerst eine quadratische Ergänzung, bevor
dann eine Substitution zur Anwendung kommt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Habe das Bsp. nun durchgerechnet:
[mm] \integral\bruch{1}{(1+2cosh(x))}dx=\integral\bruch{1}{(1+e^x+e^-^x)}dx=
[/mm]
Substitution: [mm] u=e^x-->\bruch{du}{dx}= e^x-->dx=\bruch{du}{e^x}=\bruch{du}{u}
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{(1+e^x+e^-^x)}dx=\integral\bruch{1}{(1+u+ \bruch{1}{u})} \bruch{du}{u}=\integral \bruch{1}{u^2+u+1}du
[/mm]
Nun wende ich die quadratische Ergänzung an welche ergibt: [mm] u^2+u+1= ((u+\bruch{1}{2}))^2+\bruch{3}{4}= \bruch{3}{4}*(\bruch{(u+\bruch{1}{2})^2}{\bruch{3}{4}}+1)=\bruch{3}{4}*[(\bruch{u+\bruch{1}{2}}{ \bruch{\wurzel{3}}{2} })^2+1]
[/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{u^2+u+1}du= \integral \bruch{1}{\bruch{3}{4}*[(\bruch{u+\bruch{1}{2}}{ \bruch{\wurzel{3}}{2} })^2+1]}= \bruch{4}{3}*\integral \bruch{1}{[( \bruch{(u+ \bruch{1}{2})}{ \bruch{\wurzel{3}}{2}})^2+1]}
[/mm]
t= [mm] \bruch{(u+ \bruch{1}{2})}{ \bruch{\wurzel{3}}{2}}= \bruch{2}{ \wurzel{3}}*(u+1)-->\bruch{dt}{du}=\bruch{2}{ \wurzel{3}}*1=\bruch{2}{ \wurzel{3}}-->dx=\bruch{\wurzel{3}*dt}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{3}* \integral\bruch{1}{(t^2+1)}*\bruch{\wurzel{3}*dt}{2}=\bruch{4}{3}*\bruch{\wurzel{3}}{2}\integral\bruch{1}{(t^2+1)}*dt=\bruch{2}{\wurzel{3} }\integral\bruch{1}{(t^2+1)}*dt=\bruch{2}{\wurzel{3} }*arctan(t)+c=
[/mm]
und nun zwei Mal rücksubstituieren
[mm] \bruch{2}{\wurzel{3} }*arctan(\bruch{2*(u+\bruch{1}{2})}{ \wurzel{3}})+c=
[/mm]
[mm] \bruch{2}{\wurzel{3} }*arctan(\bruch{2*(e^x+\bruch{1}{2})}{ \wurzel{3}})+c
[/mm]
Liebe Grüße und in freudiger Erwartung auf Feedback 
P.S:FROHE OSTERN!
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Hallo, ich habe keinen Fehler gefunden, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke für die rasche Antwort
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