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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:29 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie für $a > |b| > 0$ das Integral
$\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt$ |
Hallo,
habe ein Ergebnis für obige Aufgabe. Allerdings ist es falsch, habe das Ergebnis mit CAS überprüft. Ich finde allerdings keinen Fehler. Kann mir jemand sagen wo dieser sich versteckt?
Mein Ergebnis:
$\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt = \frac{2\pi{a}}{b^2}$
Richtiges Ergebnis ist (vermutlich) etwas derartiges:
$\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt = \frac{2\pi\left(a-\sqrt{a+b})}{b^2}$
Rechenweg:
[mm]R(sin(t),cos(t)) = \frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}[/mm]
[mm]\Rightarrow R(x,y) = \frac{x^2}{a+by} = \frac{p(x,y)}{q(x,y)}[/mm]
[mm]\Rightarrow p(x,y) = x^2, q(x,y) = a+by[/mm]
[mm]\Rightarrow q(x,y) \not= 0[/mm] für alle $x,y$ mit $x+y=1$, da $a>|b|$
[mm]\Rightarrow f(z)=\frac{1}{z}*R\left(\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)[/mm]
[mm]= \frac{1}{4z}\frac{\left(z+\frac{1}{z}\right)^2}{a+b*\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)}[/mm]
[mm]= \frac{2i}{4}\frac{z^2+2+\frac{1}{z^2}}{2iaz+bz^2-b}[/mm]
[mm]= \frac{i}{2b}\frac{z^4+2z^2+1}{z^2\left(z^2+\frac{2ia}{b}z-1\right)}[/mm]
Das heißt wir haben einen Pol in $z=0$, der insbes. auf der Einheitskreischeibe liegt.
Wir lösen nach z: [mm] $z^2+\frac{2ia}{b}z-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1/2} [/mm] = [mm] -\frac{ia}{b}\pm\sqrt{\left(\frac{ia}{b}\right)^{2}+1} [/mm] = [mm] -\frac{ia}{b}\pm\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$
[/mm]
[mm]\Rightarrow |z_{1/2}| = \frac{a^2}{b^2}+1-\frac{a^2}{b^2} = 1 [/mm]
Die beiden anderen Pole liegen also nicht in der Einheiskreisscheibe, d.h. das zu berechnende Intgral ist [mm] $2\pi*res_{z=0}(f) [/mm] = [mm] 2\pi*\frac{g'(0)}{1!}$, [/mm] wobei [mm] $g(z)=\frac{i}{2b}\frac{z^4+2z^2+1}{z^2+\frac{2ia}{b}z-1}$, [/mm] sodass [mm]f(z) = \frac{g(z)}{z^2} [/mm]
[mm]\Rightarrow g'(z) = \frac{i}{2b}\frac{\left(4z^3+4z\right)\left(z^2+\frac{2ia}{b}z-1\right)-\left(2z-\frac{2ia}{b}\right)\left(z^4+2z^2+1\right)}{\left(z^2+\frac{2ia}{b}z-1\right)^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow g'(0) = \frac{i}{2b}*\left(-\frac{2ia}{b}\right) = \frac{a}{b^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow \int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt = \frac{2\pi{a}}{b^2}[/mm]
Leider muss ich unterwegs irgendwo einen Term liegen gelassen haben. Wäre echt dankbar, falls mir jemand sagen kann wo.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:35 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Berechnen Sie für [mm]a > |b| > 0[/mm] das Integral
Ist $b$ als reelle Zahl vorausgesetzt?
> [mm]\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt[/mm]
>
> habe ein Ergebnis für obige Aufgabe. Allerdings ist es
> falsch, habe das Ergebnis mit CAS überprüft. Ich finde
> allerdings keinen Fehler. Kann mir jemand sagen wo dieser
> sich versteckt?
Dann wollen wir mal nachrechnen...
> Mein Ergebnis:
> [mm]\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt = \frac{2\pi{a}}{b^2}[/mm]
>
> Richtiges Ergebnis ist (vermutlich) etwas derartiges:
> [mm]\int_{0}^{2\pi}\frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}dt = \frac{2\pi\left(a-\sqrt{a+b})}{b^2}[/mm]
>
> Rechenweg:
> [mm]R(sin(t),cos(t)) = \frac{sin^{2}(t)}{a+b\,cos(t)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow R(x,y) = \frac{x^2}{a+by} = \frac{p(x,y)}{q(x,y)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow p(x,y) = x^2, q(x,y) = a+by[/mm]
> [mm]\Rightarrow q(x,y) \not= 0[/mm]
> für alle [mm]x,y[/mm] mit [mm]x+y=1[/mm], da [mm]a>|b|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(z)=\frac{1}{z}*R\left(\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{4z}\frac{\left(z+\frac{1}{z}\right)^2}{a+b*\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)}[/mm]
>
> [mm]= \frac{2i}{4}\frac{z^2+2+\frac{1}{z^2}}{2iaz+bz^2-b}[/mm]
> [mm]= \frac{i}{2b}\frac{z^4+2z^2+1}{z^2\left(z^2+\frac{2ia}{b}z-1\right)}[/mm]
>
> Das heißt wir haben einen Pol in [mm]z=0[/mm], der insbes. auf der
> Einheitskreischeibe liegt.
> Wir lösen nach z: [mm]$z^2+\frac{2ia}{b}z-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow z_{1/2}[/mm] =
> [mm]-\frac{ia}{b}\pm\sqrt{\left(\frac{ia}{b}\right)^{2}+1}[/mm] =
> [mm]-\frac{ia}{b}\pm\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow |z_{1/2}| = \frac{a^2}{b^2}+1-\frac{a^2}{b^2} = 1[/mm]
Vorsicht! Hier musst du aufpassen.
1. Ist das [mm] $|z_{1/2}|^2$ [/mm] und nicht [mm] $|z_{1/2}|$.
[/mm]
2. Das gilt nur so, wenn $b$ reell ist.
3. Es ist [mm] $(a/b)^2 [/mm] > 1$, womit $1 - [mm] (a/b)^2 [/mm] < 0$ ist. Damit ist [mm] $\sqrt{1 - a^2/b^2}$ [/mm] eine rein imaginaere Zahl! Du musst insbesondere [mm] $|z_{1/2}|^2$ [/mm] anders ausrechnen.
Du wirst sehen, dass du immer ein weiteres Residuum bekommst, was fuer dein Integral zaehlt. Damit bekommst du natuerlich auch einen anderen Wert fuer das Integral.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, vielen Dank für deine Antwort!
>
> > [mm]\Rightarrow |z_{1/2}| = \frac{a^2}{b^2}+1-\frac{a^2}{b^2} = 1[/mm]
>
> Vorsicht! Hier musst du aufpassen.
>
> 1. Ist das [mm]|z_{1/2}|^2[/mm] und nicht [mm]|z_{1/2}|[/mm].
>
> 2. Das gilt nur so, wenn [mm]b[/mm] reell ist.
>
> 3. Es ist [mm](a/b)^2 > 1[/mm], womit [mm]1 - (a/b)^2 < 0[/mm] ist. Damit ist
> [mm]\sqrt{1 - a^2/b^2}[/mm] eine rein imaginaere Zahl! Du musst
> insbesondere [mm]|z_{1/2}|^2[/mm] anders ausrechnen.
[mm] z_{1/2} = -\frac{ia}{b}\pm\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}} [/mm]
[mm] = i\left(-\frac{a}{b}\pm\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}\right) [/mm]
[mm] \Rightarrow |z_{1/2}| = \left|-\frac{a}{b}\pm\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}\right| [/mm]
Das ist jetzt alles reell, da ja $a>|b|$, aber wie sehe ich, dass eine der Lösungen betragsmäßig kleiner 1 ist?
>
> Du wirst sehen, dass du immer ein weiteres Residuum
> bekommst, was fuer dein Integral zaehlt. Damit bekommst du
> natuerlich auch einen anderen Wert fuer das Integral.
>
> LG Felix
>
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]z_{1/2} = -\frac{ia}{b}\pm\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}[/mm]
> [mm]= i\left(-\frac{a}{b}\pm\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}\right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |z_{1/2}| = \left|-\frac{a}{b}\pm\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}\right|[/mm]
>
> Das ist jetzt alles reell, da ja [mm]a>|b|[/mm],
Genau.
> aber wie sehe ich, dass eine der Lösungen betragsmäßig
> kleiner 1 ist?
Setze $x := [mm] \frac{a}{b}$; [/mm] dann ist $|x| > 1$. Dann geht es um $|-x [mm] \pm \sqrt{x^2 - 1}|$. [/mm] Dazu behaupte ich: es gilt $|x| - 1 < [mm] \sqrt{x^2 - 1} [/mm] < |x|$. Daraus folgt, dass eins der beiden Betrag $< 1$ hat.
Zur Aussage $|x| - 1 < [mm] \sqrt{x^2 - 1} [/mm] < x$: sei dazu erstmal ohne Einschraenkung $x > 0$, also hier $x > 1$. Aus [mm] $x^2 [/mm] - 1 < [mm] x^2$ [/mm] und der Monotonie von [mm] $\sqrt{\bullet}$ [/mm] folgt die hintere Ungleichung. Die vordere folgt aus $(x - 1) (x - 1) < (x - 1) (x + 1) = [mm] x^2 [/mm] - 1$ (wozu man $x > 1$ benoetigt) und wiederum der Monotonie von [mm] $\sqrt{\bullet}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:24 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank Felix, hat mir schon sehr weiter geholfen.
Ich bin leider immernoch etwas am verzweifeln.
Zuerst einmal hab ich von Anfang an meine Variablen x und y vertauscht. Habe das korrigiert und es ergibt sich zum Glück nichts vollkommen anderes:
[mm] f(z) = -\frac{1}{2b}\frac{z^4-2z^2+1}{z^2\left(z^2+\frac{2a}{b}z+1\right)} [/mm]
Wenn ich den quadratischen Faktor im Nenner ausmultipliziere erhalte ich:
[mm]z_{1/2} = -\frac{a}{b}\pm\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}[/mm]
Also die Nullstellen vom Betrag her gleich, aber reell und nicht imaginär.
Deine Argumentation lässt sich also genauso anwenden, ich weiß also dass der Pol [mm]z_{1} = -\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}[/mm] in der Einheitskreisscheibe liegt.
Ich scheitere nun daran das Residuum von f in [mm] $z_1$ [/mm] zu bestimmen:
[mm] g(z):=-\frac{1}{2b}\frac{z^4-2z^2+1}{z^2\left(z+\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}\right)} [/mm]
Dann ist
[mm] res_{z=z_1} (f) = g(z_1) [/mm]
Stimmt das bis hierhin?
Wenn ich nun nämlich [mm]z_{1} = -\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}[/mm] einsetze, wird es wahnsinnig hässlich und ich komme auf kein auch nur annähernd schönes Ergebnis.
> Setze [mm]x := \frac{a}{b}[/mm]; dann ist [mm]|x| > 1[/mm]. Dann geht es um
> [mm]|-x \pm \sqrt{x^2 - 1}|[/mm]. Dazu behaupte ich: es gilt [mm]|x| - 1 < \sqrt{x^2 - 1} < |x|[/mm].
> Daraus folgt, dass eins der beiden Betrag [mm]< 1[/mm] hat.
>
> Zur Aussage [mm]|x| - 1 < \sqrt{x^2 - 1} < x[/mm]: sei dazu erstmal
> ohne Einschraenkung [mm]x > 0[/mm], also hier [mm]x > 1[/mm]. Aus [mm]x^2 - 1 < x^2[/mm]
> und der Monotonie von [mm]\sqrt{\bullet}[/mm] folgt die hintere
> Ungleichung. Die vordere folgt aus [mm](x - 1) (x - 1) < (x - 1) (x + 1) = x^2 - 1[/mm]
> (wozu man [mm]x > 1[/mm] benoetigt) und wiederum der Monotonie von
> [mm]\sqrt{\bullet}[/mm].
>
> LG Felix
>
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 08.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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