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Forum "Mathematica" - Integral über Gebiet
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Integral über Gebiet: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Mo 14.07.2008
Autor: Merle23

Aufgabe
[mm] \integral_{[0,1]^2}{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} d(x,y)} [/mm]

Ich gebe folgendes ein:

[mm] Integrate[(x^2 [/mm] - [mm] y^2)/((x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2), [/mm] {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
und es kommt pi/4 raus.

Dann geb' ich das ein:

[mm] Integrate[(x^2 [/mm] - [mm] y^2)/((x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2), [/mm] {y, 0, 1}, {x, 0, 1}]
und es kommt -pi/4 raus.

Was mach' ich da falsch, bzw. was macht Mathematica da?

        
Bezug
Integral über Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mo 14.07.2008
Autor: sunshinekid

Ich weiß ja nicht, wie weit eure Vorlesung schon ist, aber nach dem Satz von Fubini sollte meiner Meinung nach eine Vertauschung nicht möglich sein (Unstetigkeit in (0,0)), oder irre ich mich?

PS: Versuche doch einfach mal die Integrale direkt einzeln berechnen zun lassen...

[mm] $Integrate[f[x,y],\{x,0,1\},Assumptions \to \{ x \in Reals,y \in Reals \} [/mm] ]$
[mm] $Integrate[f[x,y],\{y,0,1\},Assumptions \to \{ x \in Reals,y \in Reals \} [/mm] ]$

Da sieht man gleich, dass da was unterschiedliches rauskommt...

(Die Assumptions sollte man machen, da sonst zunächst kein konkretes Ergebnis erscheint)

MfG Sunny

Bezug
                
Bezug
Integral über Gebiet: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mo 14.07.2008
Autor: Merle23

Wir haben hier festgestellt, dass da eigentlich [mm] +\infty [/mm] rauskommen sollte (sofern wir uns nicht irren - so ganz sicher sind wir uns nicht dabei - zumindest ich).
Also wieso spuckt dann Mathematica irgend 'nen Wert raus, anstatt [mm] +\infty? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integral über Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 Di 15.07.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Wir haben hier
> festgestellt, dass da eigentlich [mm]+\infty[/mm] rauskommen sollte
> (sofern wir uns nicht irren - so ganz sicher sind wir uns
> nicht dabei - zumindest ich).
>  Also wieso spuckt dann Mathematica irgend 'nen Wert raus,
> anstatt [mm]+\infty?[/mm]  

Aber das hat dir sunshinekid doch schon gesagt: für diese Funktion gilt der Satz von Fubini nicht, weil sie nicht stetig ist.

Du sollst ausrechnen:

[mm] \integral_{[0,1]^2}{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} d(x,y)} [/mm]

aber du hast ausgerechnet:

[mm] \integral_0^1 \left(\integral_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx \right) dy = -\bruch{\pi}{4} [/mm]

beziehungsweise

[mm] \integral_0^1 \left(\integral_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy\right) dx = +\bruch{\pi}{4}[/mm]

Das ist schon ein starker Hinweis, dass das Integral über $d(x,y)$ nicht existiert.

Der andere wichtige Hinweis ist, dass das Integral

[mm] \integral_0^1 \left(\integral_0^1 \left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right| dx \right) dy = \infty [/mm]

ist.

Wenn du nämlich das Integrationsgebiet in die zwei Dreiecke zerlegst, in denen $x<y$ bzw. $x>y$ ist, so existieren die beiden Teilintegrale nicht.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Integral über Gebiet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:00 Di 15.07.2008
Autor: Merle23

Ok, danke. Heisst also, dass Mathematica mir das denken doch nicht abnimmt ^^
Wenn ich ein Integral eingebe und Mathematica gibt mir 'nen Wert, dann sollte man das doch mit Vorsicht genießen.

Bezug
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