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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x+1}{\wurzel(1+3x)} dx} [/mm] |
Hallo zusammen! Ich habe gerade versucht dieses Integral zu berechnen und wollte mal fragen ob alles richtig ist.
Hier mein Rechenweg:
Partielle Integration
u = 2x+1
v' = [mm] (1+3x)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
u' = 2
v = [mm] \integral_{}^{}{(1+3x)^{-\bruch{1}{2}} dx} [/mm] <-- Integration durch substitution
z = 1+3x
[mm] \bruch{dz}{dx}=3
[/mm]
dx = [mm] \bruch{dz}{3}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(z)^{\bruch{1}{2}} \bruch{dz}{3}}=\bruch{2}{3}\wurzel(z)
[/mm]
Resubstituieren:
[mm] \integral_{}^{}{(1+3x)^{-\bruch{1}{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\wurzel(1+3x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x+1}{\wurzel(1+3x)} dx}=(2x+1)*\bruch{2}{3}\wurzel(1+3x)-\integral_{}^{}{2*\bruch{2}{3}\wurzel(1+3x) dx}=(2x+1)*\bruch{2}{3}\wurzel(1+3x)-\bruch{4}{3}\integral_{}^{}{\wurzel(1+3x) dx}
[/mm]
Integration durch substitution von [mm] \integral_{}^{}{\wurzel(1+3x) dx}
[/mm]
z=1+3x
[mm] \bruch{dz}{dx}=3
[/mm]
dx = [mm] \bruch{dz}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\wurzel(z) dz} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9}z^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Resubstituieren:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel(1+3x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9}(1+3x)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x+1}{\wurzel(1+3x)} dx}=(2x+1)*\bruch{2}{3}\wurzel(1+3x)-\bruch{4}{3}\integral_{}^{}{\wurzel(1+3x) dx}=(2x+1)*\bruch{2}{3}\wurzel(1+3x)-\bruch{8}{27}(1+3x)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Puh, das war Arbeit alles einzutippen :D Ich hoffe es stimmt alles.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Infinity95,
das Eintippen ist Dir doch schonmal gut gelungen.
Und, was noch besser ist: die Integration auch.
Dein Ergebnis stimmt, der Weg auch.
Ich neige allerdings dazu, noch etwas zusammenzufassen:
[mm] F(x)=\tfrac{2}{27}(6x+5)\wurzel{3x+1}+C
[/mm]
Grüße
reverend
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