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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{a-cos(x)} dx}=\bruch{\pi}{\wurzel{a^2-1}} [/mm] , a>1
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Hi,
habe das Integral mittel t-substitution gelöst, also t=tan(0.5x) usw. und bekomme als Lösung:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{a^2-1}}*arctan\left(\bruch{\wurzel{a+1}}{\wurzel{a-1}}*tan\left(\bruch{x}{2}\right)\right) [/mm] .
Das sollte eigentlich soweit stimmen, mein problem ist jetzt nur wenn ich [mm] \pi [/mm] und null einsetze ist der tangens von [mm] 0.5\pi [/mm] ja gar nicht definiert... ich werde also diesen fiesen ausdruck nicht los.
Vielleicht kann mir ja wer helfen.
Lg,
exe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Mi 23.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
Mir ist gerade eine idee gekommen und zwar folgende:
[mm] tan(0.5*\pi) [/mm] ist ja eine definitionslücke im tangens, der wird doch also "unendlich" groß. Stellt man sich jetzt die umkehrfunktion vor, also arctan und nimmt unendlich große werte, geht der gehen 0.5*pi . das wuerde sich dann kuerzen und ich hätte mein pi :)
lg,
exe
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> Zeigen Sie, dass:
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{a-cos(x)} dx}=\bruch{\pi}{\wurzel{a^2-1}}[/mm]
> , a>1
>
> Hi,
>
> habe das Integral mittel t-substitution gelöst, also
> t=tan(0.5x) usw. und bekomme als Lösung:
>
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{a^2-1}}*arctan\left(\bruch{\wurzel{a+1}}{\wurzel{a-1}}*tan\left(\bruch{x}{2}\right)\right)[/mm]
> .
>
> Das sollte eigentlich soweit stimmen, mein problem ist
> jetzt nur wenn ich [mm]\pi[/mm] und null einsetze ist der tangens
> von [mm]0.5\pi[/mm] ja gar nicht definiert... ich werde also diesen
> fiesen ausdruck nicht los.
>
> Vielleicht kann mir ja wer helfen.
>
> Lg,
>
> exe
Hallo,
du hast offenbar schon gemerkt wie es trotzdem geht.
Damit das Ganze auch formal in Ordnung kommt,
solltest du Grenzwerte bilden:
[mm] $\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{a-cos(x)}\ [/mm] dx\ =\ [mm] \limes_{u\downarrow 0}\left(\limes_{v\uparrow \pi}\ \integral_{u}^{v}\bruch{1}{a-cos(x)}\ dx\right)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mi 23.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
danke für deine Antwort und die formal korrekte schreibweise. darauf legt in england niemand so viel wert wie in deutschland, das habe ich auch schon von freunden von mir gehört, die in DE mathe studieren / studiert haben.
Frohes Fest,
exe
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