Integral und Abschätzungen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Tja, ich komme halt irgendwie mit den ganzen Aufgaben nicht klar, deshalb hier schon wieder eine Frage:
Habe hier eine Folge von Integralen
[mm] I_k=\bruch{1}{e} \integral_{0}^{1} {e^x x^k dx} [/mm] und soll dazu folgende Abschätzungen zeigen
[mm] \bruch{1}{e(k+1)} [/mm] < [mm] I_k [/mm] < [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] und [mm] 0
Wenn ich diese Abschätzungen zeigen soll, muss ich doch bestimmt das Integral irgendwie lösen, oder? Hab's schon mit partieller Integration versucht, bin da aber nicht weit gekommen. Aber wenn mir jemand sagt, dass es wirklich damit funktioniert, dann werde ich es nochmal versuchen.
Oder falls man die Ungleichungen anders zeigen kann: wie?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Bastiane!
> > Habe hier eine Folge von Integralen
> [mm]I_k=\bruch{1}{e} \integral_{0}^{1} {e^x x^k dx}[/mm] und soll
> dazu folgende Abschätzungen zeigen
> [mm]\bruch{1}{e(k+1)}[/mm] < [mm]I_k[/mm] < [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] und
> [mm]0
Es gilt auf dem Integrationsbereich
[mm] $x^k \le e^x \cdot x^k \le e\cdot x^k$.
[/mm]
1) Siehst du, warum das gilt?
2) Was könnte man damit anfangen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke für den Tipp, wenn man das hat, dann ist die Aufgabe ja eigentlich ganz einfach. Obwohl ich mit dem Tipp zuerst auch nichts anfangen konnte. Aber mit dem heute noch hat es nicht ganz geklappt, es sei denn, es ist solange "heute", wie ich wach bin... 
> Es gilt auf dem Integrationsbereich
>
> [mm]x^k \le e^x \cdot x^k \le e\cdot x^k[/mm].
>
> 1) Siehst du, warum das gilt?
Kann man das so erklären:
[mm] 0=0^k \le e^0 0^k [/mm] = 0 [mm] \le e*0^k=0 [/mm] und da [mm] e^x [/mm] monoton steigend ist, gilt die Ungleichung auch für x>0 (habe auch noch gezeigt, dass sie für x=1 gilt, aber das braucht man doch gar nicht, weil sie ja für alle x>0 gilt, oder etwa nicht?)
> 2) Was könnte man damit anfangen?
Man setzt vor jeden Teil in der Ungleichung ein Integralzeichen (das gilt doch, oder?) und noch den Faktor [mm] \bruch{1}{e}, [/mm] dann kann man die Integrale links und rechts berechnen und erhält genau die Gleichung, die man zeigen muss.
Bis auf das <, denn es gilt doch in
[mm]x^k \le e^x \cdot x^k \le e\cdot x^k[/mm]
nur [mm] \le, [/mm] oder???
So, das reicht jetzt aber wirklich für heute... 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:05 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Bastiane!
Also, exakt muss man so argumentieren:
Aus der strengen Monotonie der Exponentialfunktion folgt für alle $x [mm] \in [/mm] ]0,1[$:
$1 = [mm] e^0 [/mm] < [mm] e^x [/mm] < [mm] e^1 [/mm] = e$.
Daraus folgt:
(*) [mm] $x^k [/mm] < [mm] e^x \cdot x^k [/mm] < e [mm] \cdot x^k$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] ]0,1[$:.
(Es spielt keine Rolle, dass die Ungleichung für $x=0$ und $x=1$ nicht strikt ist, da die Funktionswerte an einzelnen isolierten Stellen keinen Einfluss auf den Wert des Integrals haben. Ich hätte also in meinem Tipp besser direkt "<" geschrieben und die Einschränkung $]0,1[$ gemacht, aber so hattest du wenigstens noch was zu tun. )
Aus (*) folgt nun:
[mm] $\frac{1}{e} \int\limits_0^1 x^k \, [/mm] dx < [mm] \frac{1}{e} \int\limits_0^1 e^x \, [/mm] dx [mm] \cdot x^k [/mm] < [mm] \frac{1}{e} \int\limits_0^1 [/mm] e [mm] \cdot x^k\, [/mm] dx$.
Wegen
[mm] $\int_0^1 x^k\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{k+1}$
[/mm]
bedeutet dies:
[mm] $\frac{1}{e(k+1)} [/mm] < [mm] \underbrace{\frac{1}{e} \int\limits_0^1 e^x \cdot x^k \, dx}_{=\, I_k} [/mm] < [mm] \frac{1}{k+1}$,
[/mm]
wie behauptet.
Zu zeigen bleibt noch
$0 < [mm] I_{k+1} [/mm] < [mm] I_k$,
[/mm]
aber die erste Ungleichung folgt aus dem bereits Bewiesenen, und die zweite zeigt man wie eben unter Zuhilfenahme von
[mm] $x^{k+1} \cdot e^x [/mm] < [mm] x^k \cdot e^x$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] ]0,1[$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Bastiane!
Mein Tipp lautet: partielle Integration!
Dann steht es sofort da.
Kriegst du es hin? Wenn nicht, dann frage bitte wieder nach.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 So 24.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Herzlichen Dank für den Tipp - damit hat's geklappt!
Wenn die anderen Aufgaben jetzt auch noch alle so einfach sind, dann habe ich ja noch gute Chancen...
Viele Grüße und nochmal ein gaaaanz dickes DANKE!
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hab' noch einen Aufgabenteil übersehen, ich muss auch noch folgendes zeigen:
[mm] 0
Die erste Ungleichung kann ich doch folgendermaßen zeigen:
aus [mm] \bruch{1}{e(k+1)} [/mm] < [mm] I_{k} [/mm] folgt doch [mm] \bruch{1}{e(k+2)} [/mm] < [mm] I_{k+1} [/mm] und weil k [mm] \in \IN [/mm] ist (k+2) positiv, e sowieso und somit auch der ganze Bruch, und da [mm] I_{k+1} [/mm] größer ist, ist [mm] I_{k+1} [/mm] also auch größer 0.
Geht das so?
Aber wie zeige ich die zweite Ungleichung?
Viele Grüße
Nachtrag: Sorry, hatte vergessen, dass ich darauf schon eine Antwort erhalten hatte. Tut mir leid. :'-)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Diese Frage hatte ich dir schon weiter oben im Thread beantwortet. Daher gehe ich jetzt davon aus, dass alles geklärt ist mit dieser Aufgabe.
Liebe Grüße
Stefan
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