Integral und Zwischensummen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie als Grenzwert geeigneter Zwischensummen: [mm] \integral_{0}^{a}{e^x dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme an einer Stelle nicht weiter.
Es soll folgende Zerlegung genutzt werden: [mm] \delta_k=\bruch{ak}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}*[\bruch{ak}{n}-\bruch{a(k-1)}{n}]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}... [/mm] Ab hier weiß ich nicht weiter.
[mm] e^{\bruch{ak}{n}} [/mm] geht nicht gegen 0, kann also nicht als Zerlegung genutzt werden. Bei [mm] \summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}} [/mm] hab ich bereits die Definition über Summen versucht, aber ohne Erfolg. Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich bedank mich schon mal!
lg Kai
|
|
| |
|
Hallo kuemmelsche,
> Berechnen Sie als Grenzwert geeigneter Zwischensummen:
> [mm]\integral_{0}^{a}{e^x dx}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich komme an einer Stelle nicht weiter.
>
> Es soll folgende Zerlegung genutzt werden:
> [mm]\delta_k=\bruch{ak}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}*[\bruch{ak}{n}-\bruch{a(k-1)}{n}]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}...[/mm]
> Ab hier weiß ich nicht weiter.
[mm]\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}=\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}[/mm]
Das ist eine geometrische Reihe, deren Summe ist bekannt.
>
> [mm]e^{\bruch{ak}{n}}[/mm] geht nicht gegen 0, kann also nicht als
> Zerlegung genutzt werden. Bei
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}[/mm] hab ich bereits die
> Definition über Summen versucht, aber ohne Erfolg. Ich
> hoffe ihr könnt mir helfen...
Versuche es mal über die Darstellung als Potenzreihe:
[mm]e^{\bruch{a}{n}}=\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{i!}*\left( \ \bruch{a}{n} \ \right)^{i}[/mm]
>
> Ich bedank mich schon mal!
>
> lg Kai
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke für deine Hilfe!
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}=\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}[/mm]
>
> Das ist eine geometrische Reihe, deren Summe ist bekannt.
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}=\bruch{1-(e^{\bruch{a}{n}})^n}{1-e}=\bruch{1-e^a}{1-e}
[/mm]
> Versuche es mal über die Darstellung als Potenzreihe:
>
> [mm]e^{\bruch{a}{n}}=\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{i!}*\left( \ \bruch{a}{n} \ \right)^{i}[/mm]
>
In wie fern bringt mich denn jetzt die Potenzreichendarstellung weiter?
Wenn ich die jetzt noch verwende komme ich zu:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}*[\bruch{1-e^a}{1-e}]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}*[\bruch{1-\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{i!}*\left( \ a\ \right)^{i}}{1-e}]
[/mm]
Ab hier hängt es wieder... Sry!
lg Kai
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 19.04.2009 | | Autor: | boyl |
hallo erstmal
a/n [mm] \* (e^{a} [/mm] - [mm] 1)/(e^{a/n} [/mm] - 1) = [mm] (e^{a} [/mm] - 1)/(( [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a/n)^{k}/k! [/mm] - 1) [mm] \* [/mm] n/a)
und der Nenner müsste gegen 1 gehen für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
hoffe keine schreibfehler, irgendwie sieht das bei mir net so gut aus
|
|
|
| |
|
Hallo kuemmelsche,
> Danke für deine Hilfe!
>
> > [mm]\summe_{k=0}^{n-1}e^{\bruch{ak}{n}}=\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}[/mm]
>
> >
> > Das ist eine geometrische Reihe, deren Summe ist bekannt.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}=\bruch{1-(e^{\bruch{a}{n}})^n}{1-e}=\bruch{1-e^a}{1-e}[/mm]
>
> > Versuche es mal über die Darstellung als Potenzreihe:
> >
> > [mm]e^{\bruch{a}{n}}=\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{i!}*\left( \ \bruch{a}{n} \ \right)^{i}[/mm]
>
> >
>
> In wie fern bringt mich denn jetzt die
> Potenzreichendarstellung weiter?
>
> Wenn ich die jetzt noch verwende komme ich zu:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}*[\bruch{1-e^a}{1-e}]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}*[\bruch{1-\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{i!}*\left( \ a\ \right)^{i}}{1-e}][/mm]
>
> Ab hier hängt es wieder... Sry!
Rechne zuerst die Summe aus:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}\summe_{k=0}^{n-1} \left( \ e^{\bruch{a}{n} \ \right)^{k}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a}{n}*[\bruch{1-e^a}{1-e^{ \red{ \bruch{a}{n} }}}][/mm]
Nun, setze hier für
[mm]e^{ \red{ \bruch{a}{n} }}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{i!}*\left( \ \bruch{a}{n} \ \right)^{i}[/mm]
ein.
>
> lg Kai
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke für deine Hilfe! Hab jetzt alles. Danke vielmals!
lg Kai
|
|
|
| |
|
[mm] \red{Es hat sich erledigt. Ich hab einen Weg gefunden. Kann gelöscht werden!} [/mm]
Danke!
lg Kai
|
|
|
|
