Integral vek. Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\bruch{1}{2 \pi \wurzel{1-r^2}\sigma^2} \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{\infty}e^{\bruch{x^2-2rxy+y^2}{(1-r^2)\sigma^2}}dx dy[/mm] |
Hallo liebes Forum.
Ich gehe davon aus, das ich auf die ein- oder andere Weise substituieren muss. Wenn ich z.B. [mm] $x^2/2=a$ [/mm] und [mm] $y^2/2=b$ [/mm] substituiere, entstehen Wurzeln im gemischten Term, die die Sache wieder komplizierter machen.
Was wäre die erste Substitution?
Viele Grüße
LukasApfel
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Hallo LukasApfel,
> [mm]\bruch{1}{2 \pi \wurzel{1-r^2}\sigma^2} \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{\infty}e^{\bruch{x^2-2rxy+y^2}{(1-r^2)\sigma^2}}dx dy[/mm]
Das soll doch bestimmt so lauten:
[mm]\bruch{1}{2 \pi \wurzel{1-r^2}\sigma^2} \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{\infty}e^{\blue{-}\bruch{x^2-2rxy+y^2}{(1-r^2)\sigma^2}}dx dy[/mm]
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> Hallo liebes Forum.
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> Ich gehe davon aus, das ich auf die ein- oder andere Weise
> substituieren muss. Wenn ich z.B. [mm]x^2/2=a[/mm] und [mm]y^2/2=b[/mm]
> substituiere, entstehen Wurzeln im gemischten Term, die die
> Sache wieder komplizierter machen.
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> Was wäre die erste Substitution?
Substituiere zunächst so, daß
[mm]\bruch{x^2-2rxy+y^2}{(1-r^2)\sigma^2}=u^{2}+v^{2}[/mm]
,wobei u und v linear von x und y abhängen.
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> Viele Grüße
> LukasApfel
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe eine Substitutionsregel gefunden:
[mm]u=ax+by[/mm]
[mm]v=bx+ay[/mm]
mit
[mm]a=\wurzel{\bruch{1+\wurzel{1-r^2}}{2(1-r^2)\sigma^2}}[/mm]
[mm]b=-\wurzel{\bruch{1-\wurzel{1-r^2}}{2(1-r^2)\sigma^2}}[/mm]
Das alte Integral...
[mm]\bruch{1}{2 \pi \wurzel{1-r^2}\sigma^2} \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{\infty}e^{\blue{-}\bruch{x^2-2rxy+y^2}{\blue{2}(1-r^2)\sigma^2}}dx dy[/mm]
...vereinfacht sich dann also zum neuen Integral, da die Funktionaldeterminante [mm]a^2-b^2=\bruch{1}{\wurzel{1-r^2}\sigma^2}[/mm] zu...
[mm]\bruch{1}{2 \pi (1-r^2)\sigma^4} \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{\infty}e^{\blue{-}\bruch{u^2+v^2}{\blue{2}}dx dy[/mm]
Das neue Integral (ohne den Vorfaktor ergibt dann [mm]\pi/2[/mm]. Als Ergebnis hätte ich aber laut Dozent eine arcus-Funktion erwarten sollen. Ich denke mal, dass bei meiner ersten Substitution dann tatsächlich etwas schiefgelaufen ist.
Wo könnte noch ein Haken sein? Ich würde gern meine Berechnung von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] einscannen, aber das ist vielleicht auch zu viel des Guten.
Viele Grüße
Lukas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 28.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Fr 28.01.2011 | | Autor: | LukasApfel |
Ich habe nochmal hier in der Uni gefragt, wie ich das Integral am besten löse. Die Antwort war: "Probieren Sie doch mal, stumpf Polarkoordinaten anzusetzen."
Das war dann auch des Rätsels Lösung. Durch Polarkoordinaten kann das Integral aufgeteilt werden und erst über [mm] $\rho$ [/mm] integriert werden. Anschließend müssen einige Substitutionen durchgeführt werden.
Vielen dank trotzdem. Bei der deiner vorgeschlagenen Substitution habe ich Probleme mit den neuen Grenzen bekommen.
Viele Grüße
Lukas
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