Integral von (1/2) sin²x < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 So 12.05.2013 | | Autor: | Rapo |
Hallo,
die Stammfunktion zu [mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{2} sin^{2}x dx} [/mm] lautet [mm] \bruch{x}{4} [/mm] - [mm] \bruch{sin(2x)}{8}.
[/mm]
Ich weiß, dass man [mm] \bruch{1}{2} sin^{2}x [/mm] auch als [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{cos(2x)}{4} [/mm] schreiben und direkt integrieren kann.
Aber wenn ich nun anders vorgehe und partielle Integration auf [mm] \bruch{1}{2} \integral_{a}^{b}{sin(x)*sin(x) dx} [/mm] anwende erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{2} (-\bruch{1}{2} [/mm] sin(2x) + [mm] \integral_{a}^{b}{cos^{2}(x) dx})
[/mm]
wg. cos²x+sin²x=1 gilt cos²x=1-sin²x
also [mm] \bruch{1}{2} (-\bruch{1}{2} [/mm] sin(2x) + x - [mm] \integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx})
[/mm]
jetzt ziehe das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] in die Klammer und erhalte
[mm] -\bruch{1}{4} [/mm] sin(2x) [mm] +\bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}
[/mm]
jetzt addiere ich zur linken seite + [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}
[/mm]
dann steht da [mm] \integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] sin(2x) [mm] +\bruch{x}{2}
[/mm]
Wie man sieht fehlt genau der Faktor 2 jeweils im Nenner, so dass das falsche Ergebnis rauskommt.
Was mache ich bloß falsch ?
Danke
Grüße
Rapo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> die Stammfunktion
Du darfst nur von einer Stammfunktion reden - die Dinger sind i.a. nämlich
nicht eindeutig!!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 So 12.05.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo,
> die Stammfunktion zu [mm]\integral_{a}^{b}{ \bruch{1}{2} sin^{2}x dx}[/mm]
> lautet [mm]\bruch{x}{4}[/mm] - [mm]\bruch{sin(2x)}{8}.[/mm]
>
Verwechsle nicht "Stammfunktion" und "bestimmtes Integral".
> Ich weiß, dass man [mm]\bruch{1}{2} sin^{2}x[/mm] auch als
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{cos(2x)}{4}[/mm] schreiben und direkt
> integrieren kann.
>
> Aber wenn ich nun anders vorgehe und partielle Integration
> auf [mm]\bruch{1}{2} \integral_{a}^{b}{sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
> anwende erhalte ich:
> [mm]\bruch{1}{2} (-\bruch{1}{2}[/mm] sin(2x) +
> [mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}(x) dx})[/mm]
>
> wg. cos²x+sin²x=1 gilt cos²x=1-sin²x
>
> also [mm]\bruch{1}{2} (-\bruch{1}{2}[/mm] sin(2x) + x -
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx})[/mm]
>
> jetzt ziehe das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] in die Klammer und erhalte
> [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] sin(2x) [mm]+\bruch{x}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
>
> jetzt addiere ich zur linken seite +
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
una zur rechten Seite ebenfalls
>
> dann steht da [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{4}[/mm] sin(2x) [mm]+\bruch{x}{2}[/mm]
>
> Wie man sieht fehlt genau der Faktor 2 jeweils im Nenner,
> so dass das falsche Ergebnis rauskommt.
> Was mache ich bloß falsch ?
Teile beide Seiten der Gleichung durch 2, dann hast du deinen fehlenden Faktor im Nenner.
Du bist doch anfangs vom halben Integral ausgegangen.
> Danke
> Grüße
> Rapo
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 So 12.05.2013 | | Autor: | Rapo |
> > jetzt addiere ich zur linken seite +
> > [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
>
> una zur rechten Seite ebenfalls
Genau, wenn ich zur rechten Seite ebenfalls [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx} [/mm] addiere, hebt sich der Term - [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx} [/mm] auf und links habe ich nur [mm] \integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx} [/mm] stehen.
Also insgesamt
[mm] \integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] sin(2x) + [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
Woher kommt dann die 2 durch die ich noch teilen muss?
Gruß Rapo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:00 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > > jetzt addiere ich zur linken seite +
> > > [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
> >
> > una zur rechten Seite ebenfalls
>
> Genau, wenn ich zur rechten Seite ebenfalls
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm] addiere, hebt
> sich der Term - [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
> auf und links habe ich nur [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
> stehen.
>
> Also insgesamt
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] sin(2x) +
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
>
> Woher kommt dann die 2 durch die ich noch teilen muss?
schreib' mal bitte die ganze Rechnung auf, und zwar, indem Du, anstatt
das alles mit Worten zu beschreiben, auch die Gleichungen hinschreibst:
[mm] $$\frac{1}{2}\int \sin^2(x)\,dx=blablablub\,,$$
[/mm]
weil ich hier partiell integriert habe. Dann folgt (bzw. dann haben wir die
äquivalente Gleichung)
[mm] $$...\red{\;=\;}...\,,$$
[/mm]
weil...
Mir persönlich reicht's schon, wenn Du "nur"
[mm] $$...\red{\;=\;}...$$
[/mm]
[mm] $$\iff ...\red{\;=\;}...$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] ...$$
hinschreibst, ich kann mir selbst dann zusammendenken, was Du hier
benutzt hast. So tiefgreifend sind die benutzten Zwischenergebnisse (wie
den trigo. Pyth.) nicht.
Nur: Mit Deinem "Geschreibsel" habe ich - vielleicht liegt's auch einfach an
der späten Stunde - keine Lust, mir das einfach nochmal selbst richtig
hinzuschreiben. Andernfalls gucken die Leute da 'ne Minute drüber und
sagen Dir, wo der Fehler liegt...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 So 12.05.2013 | | Autor: | Rapo |
Kein Problem,
[mm] \bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( - [mm] \bruch{sin(2x)}{2} [/mm] + [mm] \integral {cos^{2}(x) dx})
[/mm]
wg. [mm] cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( - [mm] \bruch{sin(2x)}{2} [/mm] + x - [mm] \integral {sin^{2}(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{sin(2x)}{4} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx} [/mm] | + [mm] \bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx}
[/mm]
[mm] \gdw \integral {sin^{2}(x) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{sin(2x)}{4} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
Es sollte rauskommen:
[mm] \bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx} [/mm] = - [mm] \bruch{sin(2x)}{8} [/mm] + [mm] \bruch{x}{4}
[/mm]
Ich hoffe, so ist das etwas übersichtlicher.
Gruss,Rapo
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> [mm]\gdw \integral {sin^{2}(x) dx}[/mm] = - [mm]\bruch{sin(2x)}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
>
>
> Es sollte rauskommen:
> [mm]\bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx}[/mm] = -
> [mm]\bruch{sin(2x)}{8}[/mm] + [mm]\bruch{x}{4}[/mm]
>
Hallo,
ich sehe Dein Problem gerade nicht:
wenn Du in dem von Dir Errechneten nun beide Seiten mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multiplizierst, hast Du's doch.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
>
> > [mm]\gdw \integral {sin^{2}(x) dx}[/mm] = - [mm]\bruch{sin(2x)}{4}[/mm] +
> > [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
> >
> >
> > Es sollte rauskommen:
> > [mm]\bruch{1}{2} \integral {sin^{2}(x) dx}[/mm] = -
> > [mm]\bruch{sin(2x)}{8}[/mm] + [mm]\bruch{x}{4}[/mm]
> >
>
> Hallo,
>
> ich sehe Dein Problem gerade nicht:
>
> wenn Du in dem von Dir Errechneten nun beide Seiten mit
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] multiplizierst, hast Du's doch.
viel deutlicher wie
hier!
weiß ich's nun auch weder zu formulieren noch kenntlich zu machen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:07 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > > jetzt addiere ich zur linken seite +
> > > [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
> >
> > una zur rechten Seite ebenfalls
>
> Genau, wenn ich zur rechten Seite ebenfalls
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm] addiere, hebt
> sich der Term - [mm]\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
> auf und links habe ich nur [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm]
> stehen.
>
> Also insgesamt
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}(x) dx}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] sin(2x) +
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
>
> Woher kommt dann die 2 durch die ich noch teilen muss?
so mal nebenbei, das, was Sax Dir wohl sagen wollte:
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\integral{\sin^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4} \sin(2x) +\bruch{x}{2}$$
[/mm]
hast Du ausgerechnet (ich habe die unsinnigen Grenzen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$
[/mm]
linkerhand entfernt).
Am Anfang schreibst Du:
> ...Stammfunktion zu $ [mm] \integral{ \red{\bruch{1}{2}} \sin^{2}x dx} [/mm] $ lautet $ [mm] \bruch{x}{4} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{\sin(2x)}{8}. [/mm] $
Na Mensch: Augen auf. Es ist halt i.a. [mm] $\integral{\sin^{2}(x) dx}$ $\red{\not=}$ [/mm] $ [mm] \integral{ \red{\bruch{1}{2}} \sin^{2}x dx}\,.$
[/mm]
Deswegen sagte er: Teile halt [mm] $(\*)$ [/mm] noch durch zwei, und Du kommst zu
> ...Stammfunktion zu $ [mm] \integral{ \red{\bruch{1}{2}} \sin^{2}x dx} [/mm] $ lautet $ [mm] \bruch{x}{4} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{\sin(2x)}{8}. [/mm] $
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 So 12.05.2013 | | Autor: | Rapo |
Ok, vielen Dank für die Mühe Marcel. Du warst mir eine große Hilfe.
Schönen Sonntag noch
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