Integral von atanh(x) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Integral von
[mm] \integral{\bruch{1}{1-x^2} dx} [/mm] |
Hallo ich komm bei diesem scheinbar einfachen Integral nicht weiter -.-
[mm] \integral{\bruch{1}{1-x^2} dx}
[/mm]
Zuerst hab ich substituiert:
$u = [mm] 1-x^2$
[/mm]
$dx = [mm] \bruch{du}{-2x}$
[/mm]
Wieder eingesetzt:
[mm] $-\bruch{1}{2} \integral{\bruch{1}{u} \bruch{1}{x} du}$
[/mm]
Jetz komm ich leider nicht mehr weiter, weil ich jetzt ein $u$ und ein $x$ im Integral habe.
Da ja $du$ steht muss ich nach $u$ integrieren, aber was passiert mit dem [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ?
Wird das auch nach $u$ integriert?
Also: [mm] $-\bruch{1}{2}(ln(u) \bruch{u}{x})$
[/mm]
Scheint so aber nicht zu stimmen. Wie lauten hier die Regeln?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Bestimme das Integral von
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> [mm]\integral{\bruch{1}{1-x^2} dx}[/mm]
> Hallo ich komm bei diesem
> scheinbar einfachen Integral nicht weiter -.-
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{1-x^2} dx}[/mm]
>
> Zuerst hab ich substituiert:
> [mm]u = 1-x^2[/mm]
> [mm]dx = \bruch{du}{-2x}[/mm]
>
> Wieder eingesetzt:
>
> [mm]-\bruch{1}{2} \integral{\bruch{1}{u} \bruch{1}{x} du}[/mm]
>
> Jetz komm ich leider nicht mehr weiter, weil ich jetzt ein
> [mm]u[/mm] und ein [mm]x[/mm] im Integral habe.
> Da ja [mm]du[/mm] steht muss ich nach [mm]u[/mm] integrieren, aber was
> passiert mit dem [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ?
> Wird das auch nach [mm]u[/mm] integriert?
>
> Also: [mm]-\bruch{1}{2}(ln(u) \bruch{u}{x})[/mm]
Nene, kein Mischmasch von Variablen:
Mache statt einer Substitution lieber eine Partialbruchzerlegung:
Ansatz: [mm]\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x)\cdot{}(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}[/mm]
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> Scheint so aber nicht zu stimmen. Wie lauten hier die
> Regeln?
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
wenn es unbedingt eine Substitution sein soll, dann versuche mal:
[mm] $x=\tanh(u)$ [/mm] Dann ist [mm] $\frac{dx}{du}=1-\tanh^2(u)$ [/mm] ...
Das geht sehr sehr schnell!
Gruß
schachuzipus
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Ich danke dir schachuzipus!
Mit der Partialbruchzerlegung gehts gleich leichter :D.
Danke für deinen Tip mit der Substitution, mit dieser muss ich es aber nicht rechnen.
Lg
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