Integral vs Rotationsintegral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Lueger |
Hallo,
[mm] A=\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
man kommt auf kein endlicher Flächeninhalt!!!
[mm] V=\pi*\integral_{1}^{\infty}{(\bruch{1}{x})^2 dx}
[/mm]
Stammfunktion ist [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
= [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\pi(-\bruch{1}{b}+1)=\pi [/mm] V.E.
Wie kann es sein das wenn ich eine "offene" Fläche drehe (also eine [mm] \infty [/mm] große Fläche) das dann auf einemal ein endliches Volumen herraus kommt.???
Mathematisch ist mir das klar aber des wiederstrebt meiner Vorstellungskraft.
Kann mir eines das erklären????? 
Vielen Dank schonemol
Grüße
Lueger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 08.01.2007 | | Autor: | chrisno |
erste Antwort: Das Unendliche ist uns normalen Menschen nicht wirklich zugänglich.
zweite Antwort: [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] geht (gerade) nicht schnell genug gegen Null um für $x [mm] \to \infty$ [/mm] die Fläche endlich werden zu lassen. Für [mm] $\bruch{1}{x^2}$ [/mm] ist das schon der Fall (noch ist die Betrachtung in der Ebene). Würdest Du also das zweite Integal als Fläche intreprtieren, hättest Du doch kein Problem, oder? Genau das ist aber möglich, denn unterm Integral steht der "Volumenzuwachs pro dx" (sehr locker formuliert). Anders betrachtet: die Kurve von [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] kommt bei dem Volumen ja von allen Seiten gleichzeitig auf die x-Achse zu und verengt das Volumen also schneller, es wird dadurch eine quadratische Abnahme. Das ist der gleiche Effekt, der bewirkt, das Zahlen zwischen Null und Eins durch quadrieren kleiner werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Di 09.01.2007 | | Autor: | Lueger |
Hallo chrisno,
danke für deine Antwort.
> erste Antwort: Das Unendliche ist uns normalen Menschen
> nicht wirklich zugänglich.
Das es nicht zugänglich ist akzeptiere ich (geht ja nicht anders )
aber es muss ja irgendwie noch logisch nachvollziehbar sein, oder?
> zweite Antwort: [mm]\bruch{1}{x}[/mm] geht (gerade) nicht schnell
> genug gegen Null um für [mm]x \to \infty[/mm] die Fläche endlich
> werden zu lassen. Für [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] ist das schon der Fall
> (noch ist die Betrachtung in der Ebene). Würdest Du also
> das zweite Integal als Fläche intreprtieren, hättest Du
> doch kein Problem, oder? Genau das ist aber möglich, denn
> unterm Integral steht der "Volumenzuwachs pro dx" (sehr
> locker formuliert). Anders betrachtet: die Kurve von
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] kommt bei dem Volumen ja von allen Seiten
> gleichzeitig auf die x-Achse zu und verengt das Volumen
> also schneller, es wird dadurch eine quadratische Abnahme.
> Das ist der gleiche Effekt, der bewirkt, das Zahlen
> zwischen Null und Eins durch quadrieren kleiner werden.
Wenn man das Volumen als Fläche betrachtet, ist man wieder bei der Mathematik, aber es ist ja keine Fläche. (vom mathematischen ist es klar) Und nur weil das Volumen quadratisch abnimmt, heißt es ja nicht das es ein endliches Volumen gibt, oder?
Ich würde logisch ehr auf den Schluss kommen, dass wenn es in der Fläche schon keinen endlichen Wert gibt, kann es nach dem " drehen " der Fläche erst recht keinen endlichen Wert geben.
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] und [mm] \bruch{-1}{x} [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe es hat jemand noch eine Idee
Vielen Dank
Grüße
Lueger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo Lueger,
ich kann's dir auch nur mit Mathematik erklären... 
> Hallo,
>
> [mm]A=\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> man kommt auf kein endlicher Flächeninhalt!!!
Stammfunktion: [mm] $\ln [/mm] x$
daher: [mm]A=\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}=\left[\ln(x)\right]_{1}^{\infty}=\ln(\infty)-0[/mm]
Nun hat die [mm] \ln-Funktion [/mm] die in diesem Fall unschöne Eigenschaft, monoton wachsend zu sein; schließlich ist [mm] (\ln(x))'=\frac{1}{x}>0 [/mm] für alle infrage kommenden x>0.
Es gibt also keinen reellen Wert, gegen den die Fläche streben könnte.
>
>
> [mm]V=\pi*\integral_{1}^{\infty}{(\bruch{1}{x})^2 dx}[/mm]
>
> Stammfunktion ist [mm]-\bruch{1}{x}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}\pi(-\bruch{1}{b}+1)=\pi[/mm] V.E.
>
> Wie kann es sein das wenn ich eine "offene" Fläche drehe
> (also eine [mm]\infty[/mm] große Fläche) das dann auf einemal ein
> endliches Volumen herraus kommt.???
>
> Mathematisch ist mir das klar aber des wiederstrebt meiner
> Vorstellungskraft.
>
> Kann mir eines das erklären?????
>
> Vielen Dank schonemol
> Grüße
> Lueger
>
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:47 Di 09.01.2007 | | Autor: | Lueger |
Hallo
danke für deine Antwort.
Mathematisch ist alles klar!!!
Hat jemand noch Ideen????
Kann doch nicht sein das es dafür keine logische Erklärung gibt?
Grüße
Lueger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 09.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Ich habe noch überlegt und beschlossen, dass meine Antwort Deine eigentliche Frage nicht trifft. Könnte man die so formulieren: Ist es nicht ein Widerspruch, dass durch die Rotation einer unendlich großen Fläche ein nur endliches Volumen entsteht?
Die Antwort bleibt ein klares nein. Begründung: die Rotation entspricht einem quadireren (vor der Integration).
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